Ce que fait ce calculateur
Cet outil tabule l'intégrale sinus hyperbolique Shi(x) et l'intégrale cosinus hyperbolique Chi(x) sur une plage de valeurs de x que vous définissez, puis trace les deux courbes sur un même graphique. Ce sont les analogues hyperboliques des intégrales trigonométriques sinus et cosinus Si(x) et Ci(x) ; on les rencontre en conduction thermique, en analyse du signal et dans l'étude du comportement asymptotique des fonctions spéciales.
Comment l'utiliser
Saisissez trois nombres : la valeur initiale de x (la première ligne), le pas (incrément) entre deux lignes successives, et le nombre d'itérations (le nombre de lignes à générer). La table parcourt alors \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) pour i allant de 0 à count\(-1\). Par exemple, un départ à 0, un pas de 0,5 et un nombre de 3 produit des lignes en x = 0, 0,5 et 1,0.
Les formules expliquées
Par définition, \(\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sinh(t)}{t}\,dt\) et \(\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt\), où \(\gamma \approx 0{,}5772156649\) est la constante d'Euler-Mascheroni. Le calculateur évalue les séries entières équivalentes, à convergence rapide :
$$\operatorname{Shi}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!} \qquad \operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$Les termes sont accumulés par mise à jour du rapport, ce qui évite le dépassement lié aux factorielles, et le calcul s'arrête dès qu'un terme devient négligeable.
Exemple détaillé
En x = 1 :
$$\operatorname{Shi}(1) = 1 + \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{600} + \tfrac{1}{35280} + \cdots \approx 1{,}0572509$$$$\operatorname{Chi}(1) = 0{,}5772157 + \ln 1 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{96} + \tfrac{1}{4320} + \cdots \approx 0{,}8378695$$FAQ
Pourquoi Chi(0) est-il affiché comme indéfini ? Chi(x) contient \(\ln x\), qui diverge vers \(-\infty\) lorsque \(x \to 0\) ; Chi n'est donc pas fini en zéro.
Et pour les valeurs négatives de x ? Shi est une fonction impaire, donc \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\), et elle se calcule normalement. Chi(x) n'est réelle que pour \(x > 0\) (pour \(x < 0\), elle acquiert une partie imaginaire \(-i\pi\)) ; la table marque donc Chi comme indéfinie dès que \(x \le 0\).
Quelle est sa précision ? Pour des valeurs |x| modérées (jusqu'à environ 10), la série atteint la pleine précision en double flottant ; l'itération converge en une vingtaine à une quarantaine de termes.
