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Sinus intégral Si(x)

0,9460830704

sans dimension

Saisir x	1
Définition	Si(x) = ∫₀ˣ sin(t)/t dt
Limit as x → +∞	π/2 ≈ 1.5707963268

Qu'est-ce que le sinus intégral Si(x) ?

Le sinus intégral, noté $\operatorname{Si}(x)$, est une fonction spéciale définie comme l'intégrale définie de $\sin(t)/t$ entre 0 et x. Même si $\sin(t)/t$ semble indéfini en $t = 0$, sa limite en ce point vaut exactement 1 : l'intégrande est donc continue et $\operatorname{Si}(0) = 0$. Il s'agit d'un outil de mathématiques pures, qui fournit partout des résultats identiques ; il n'est rattaché à aucun pays ni à aucune région.

Graphique de la courbe Si(x) oscillant et convergeant vers une asymptote horizontale — L'intégrale sinus $\operatorname{Si}(x)$ croît, oscille et converge vers la valeur $\pi/2$ lorsque x devient grand.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez n'importe quel nombre réel pour x — positif, négatif ou nul — et le calculateur renvoie $\operatorname{Si}(x)$. Comme Si est une fonction impaire, $\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)$ : une valeur négative renvoie donc simplement le résultat opposé de la valeur positive correspondante. Lorsque x devient grand, $\operatorname{Si}(x)$ oscille tout en convergeant vers $\pi/2 \approx 1{,}5707963268$.

La formule expliquée

Nous évaluons $\operatorname{Si}(x)$ à l'aide de son développement en série de Maclaurin :

$$\operatorname{Si}(x) = x - \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} - \frac{x^{7}}{7\cdot 7!} + \dots$$

Chaque terme se déduit du précédent par récurrence : on le multiplie par $-x^{2}/((2n)(2n+1))$ et l'on divise la puissance impaire par $2n+1$. On évite ainsi de calculer directement de grandes factorielles, ce qui maintient la stabilité du calcul pour des $|x|$ petits à modérés.

Aire ombrée sous la courbe sin(t)/t de 0 à x représentant l'intégrale — $\operatorname{Si}(x)$ est égale à l'aire signée sous $\sin(t)/t$ de 0 à x.

Exemple détaillé

Pour $x = 1$, la série donne $$1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35280} + \frac{1}{3265920} - \dots \approx 1 - 0{,}0555556 + 0{,}0016667 - 0{,}0000283 + 0{,}0000003 \approx 0{,}9460831.$$ La valeur de référence admise est $\operatorname{Si}(1) = 0{,}9460830703671830$.

FAQ

Que vaut $\operatorname{Si}(0)$ ? Exactement 0, puisque l'intégrale de 0 à 0 est nulle.

Quelle est sa valeur maximale ? $\operatorname{Si}(x)$ atteint son premier maximum local, qui est aussi le plus élevé, au voisinage de $x = \pi$ ($\operatorname{Si}(\pi) \approx 1{,}8519$), puis oscille en se rapprochant de la limite $\pi/2$.

Fonctionne-t-il pour des x négatifs ? Oui — Si étant impaire, $\operatorname{Si}(-2) = -\operatorname{Si}(2) \approx -1{,}6054$.

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