साइन इंटीग्रल Si(x) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x कोई भी वास्तविक संख्या (विमारहित)। Si(x) की गणना इसकी घात श्रेणी से की जाती है।

परिणाम

साइन इंटीग्रल Si(x)

0.9460830704

विमारहित

x दर्ज करें	1
परिभाषा	Si(x) = ∫₀ˣ sin(t)/t dt
Limit as x → +∞	π/2 ≈ 1.5707963268

साइन इंटीग्रल Si(x) क्या है?

साइन इंटीग्रल, जिसे \(\operatorname{Si}(x)\) लिखा जाता है, एक विशेष फलन है जिसे 0 से x तक sin(t)/t के निश्चित समाकलन (definite integral) के रूप में परिभाषित किया जाता है। हालाँकि t = 0 पर sin(t)/t अपरिभाषित दिखता है, वहाँ इसकी सीमा (limit) ठीक 1 होती है, इसलिए यह समाकलनीय फलन सतत रहता है और Si(0) = 0 होता है। यह शुद्ध गणित का उपकरण है और हर जगह एक जैसे परिणाम देता है; यह किसी देश या क्षेत्र से बँधा नहीं है।

साइन समाकल Si(x) बढ़ता है, दोलन करता है और x के बड़े होने पर मान π/2 की ओर अभिसरित होता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

x के लिए कोई भी वास्तविक संख्या दर्ज करें — धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य — और कैलकुलेटर Si(x) लौटा देगा। चूँकि Si एक विषम फलन (odd function) है, इसलिए \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\) होता है, यानी ऋणात्मक मान केवल धनात्मक परिणाम का दर्पण-प्रतिबिंब होते हैं। जैसे-जैसे x बड़ा होता जाता है, Si(x) दोलन करता रहता है और \(\pi/2 \approx 1.5707963268\) की ओर अभिसरित (converge) होता जाता है।

सूत्र की व्याख्या

हम Si(x) का मान इसकी मैकलॉरिन घात श्रेणी (Maclaurin power series) से निकालते हैं:

$$\operatorname{Si}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}\, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,x^{\,2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}$$

$$\operatorname{Si}(x) = x - \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} - \frac{x^{7}}{7\cdot 7!} + \cdots$$

प्रत्येक पद पिछले पद से पुनरावर्ती (recursive) रूप से प्राप्त होता है — इसे \(-x^{2}/((2n)(2n+1))\) से गुणा किया जाता है और विषम घात को \((2n+1)\) से भाग दिया जाता है। इससे बड़े-बड़े फैक्टोरियल सीधे निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती और छोटे से मध्यम |x| के लिए गणना स्थिर बनी रहती है।

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Si(x) 0 से x तक sin(t)/t के नीचे के चिह्नित क्षेत्रफल के बराबर है।

हल किया हुआ उदाहरण

x = 1 के लिए श्रेणी देती है $$1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35280} + \frac{1}{3265920} - \cdots \approx 1 - 0.0555556 + 0.0016667 - 0.0000283 + 0.0000003 \approx 0.9460831$$ स्वीकृत संदर्भ मान \(\operatorname{Si}(1) = 0.9460830703671830\) है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

Si(0) कितना होता है? ठीक 0, क्योंकि 0 से 0 तक का समाकलन शून्य ही होता है।

अधिकतम मान क्या है? Si(x) का पहला और सबसे बड़ा स्थानीय अधिकतम \(x = \pi\) के पास होता है (\(\operatorname{Si}(\pi) \approx 1.8519\)), और उसके बाद यह सीमा \(\pi/2\) की ओर दोलन करता रहता है।

क्या यह ऋणात्मक x के लिए काम करता है? हाँ — Si एक विषम फलन है, इसलिए \(\operatorname{Si}(-2) = -\operatorname{Si}(2) \approx -1.6054\) होता है।