हाइपरबोलिक साइन इंटीग्रल Shi(x) क्या है?
हाइपरबोलिक साइन इंटीग्रल, जिसे Shi(x) लिखा जाता है, एक विशेष फलन (special function) है जिसे 0 से x तक sinh(t)/t के निश्चित समाकलन (definite integral) के रूप में परिभाषित किया जाता है। पहली नज़र में लगता है कि t = 0 पर यह फलन असीमित हो जाएगा, लेकिन यह विलक्षणता (singularity) हटाई जा सकती है: जैसे-जैसे t शून्य की ओर बढ़ता है, sinh(t)/t का मान 1 की ओर जाता है। इसी कारण Shi(x) पूरी वास्तविक संख्या रेखा पर वैश्लेषिक (analytic) रहता है, जहाँ \(\operatorname{Shi}(0) = 0\) होता है। यह एक विषम फलन (odd function) भी है, यानी \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\)।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
इनपुट बॉक्स में कोई भी वास्तविक संख्या x डालें और कैलकुलेटर आपको Shi(x) का मान देगा। जब x शून्य से बड़ा होता है, तो यह संबंधित हाइपरबोलिक कोसाइन इंटीग्रल Chi(x) भी दिखाता है। \(x \le 0\) के लिए Chi(x) को अपरिभाषित (undefined) बताया जाता है, क्योंकि इसमें ln(x) शामिल होता है और यह एक सम्मिश्र शाखा (complex branch) में चला जाता है। परिणाम डबल-प्रिसीज़न अंकगणित का उपयोग करते हुए लगभग बारह सार्थक अंकों (significant digits) तक दिखाए जाते हैं।
सूत्र की व्याख्या
यह टूल मैक्लॉरिन श्रेणी (Maclaurin series)
$$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} + \cdots$$का योग करता है, जो हर वास्तविक x के लिए अभिसरित (converge) होती है। फैक्टोरियल के अतिप्रवाह (overflow) से बचने के लिए हर पद को पिछले पद से क्रमिक रूप से बनाया जाता है, और जब कोई नया पद चल रहे कुल योग की तुलना में नगण्य रूप से छोटा हो जाता है, तब योग रुक जाता है। Chi(x) की गणना
$$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^{2}}{2\cdot 2!} + \frac{x^{4}}{4\cdot 4!} + \cdots$$के रूप में होती है, जहाँ \(\gamma\) यूलर-माश्केरोनी स्थिरांक (Euler-Mascheroni constant) है, जिसका मान लगभग 0.5772156649 होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
x = 1 के लिए: श्रेणी से मिलता है
$$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1.0572508754$$ज्ञात संदर्भ मान है \(\operatorname{Shi}(1) = 1.0572508753757285\) और \(\operatorname{Chi}(1) = 0.8378669409765007\), जो कैलकुलेटर के परिणाम से बिल्कुल मेल खाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या Shi(x) और साइन इंटीग्रल Si(x) एक ही हैं? नहीं। Si(x) में sin(t)/t का समाकलन होता है, जबकि Shi(x) में हाइपरबोलिक sinh(t)/t का। इन दोनों के बीच संबंध है \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\)।
x ≤ 0 के लिए Chi अपरिभाषित क्यों है? Chi(x) में ln(x) होता है; ऋणात्मक x के लिए यह सम्मिश्र (complex) बन जाता है, और x = 0 पर यह ऋणात्मक अनंत (negative infinity) की ओर अपसरित (diverge) हो जाता है।
x कितना बड़ा हो सकता है? चूँकि sinh लगभग \(e^{|x|}/2\) की दर से बढ़ता है, इसलिए डबल प्रिसीज़न \(|x| \approx 700\) के आसपास अतिप्रवाहित (overflow) हो जाता है। मध्यम मानों के लिए यह श्रेणी अत्यंत सटीक रहती है।
