双曲線正弦積分 Shi(x) とは
双曲線正弦積分は \(\operatorname{Shi}(x)\) と表記され、\(\sinh(t)/t\) を 0 から x まで定積分した特殊関数です。被積分関数は t = 0 で発散しそうに見えますが、この特異点は除去可能で、t を 0 に近づけると \(\sinh(t)/t\) は 1 に収束します。そのため \(\operatorname{Shi}(x)\) は実数軸全体で解析的であり、\(\operatorname{Shi}(0) = 0\) となります。また奇関数であり、\(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\) が成り立ちます。
この計算機の使い方
入力欄に任意の実数 x を入れると、\(\operatorname{Shi}(x)\) の値が返されます。x が 0 より大きい場合は、関連する双曲線余弦積分 \(\operatorname{Chi}(x)\) も併せて表示します。x ≤ 0 のときは、\(\operatorname{Chi}(x)\) が \(\ln(x)\) を含み複素数の分岐が生じるため「未定義」と表示されます。計算には倍精度演算を用い、結果はおよそ有効数字 12 桁で示されます。
計算式の解説
このツールはマクローリン級数 $$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \cdots$$ を合計します。この級数はすべての実数 x で収束します。各項は前の項から逐次的に計算することで階乗のオーバーフローを避け、新しい項が合計値に対して無視できるほど小さくなった時点で打ち切ります。\(\operatorname{Chi}(x)\) は $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots$$ で計算され、ここで \(\gamma\) はオイラー・マスケローニ定数(約 0.5772156649)です。
計算例
x = 1 の場合、級数は $$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1.0572508754$$ となります。文献値は \(\operatorname{Shi}(1) = 1.0572508753757285\)、\(\operatorname{Chi}(1) = 0.8378669409765007\) であり、本計算機の出力と一致します。
よくある質問
Shi(x) は正弦積分 Si(x) と同じものですか? いいえ、別物です。\(\operatorname{Si}(x)\) は \(\sin(t)/t\) を積分するのに対し、\(\operatorname{Shi}(x)\) は双曲線関数 \(\sinh(t)/t\) を積分します。両者は \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\) という関係で結ばれています。
なぜ x ≤ 0 で Chi が未定義になるのですか? \(\operatorname{Chi}(x)\) は \(\ln(x)\) を含むためです。x が負の値だと複素数になり、x = 0 では負の無限大に発散します。
x はどこまで大きくできますか? sinh はおよそ \(e^{|x|}/2\) のように増大するため、倍精度では |x| ≈ 700 付近でオーバーフローします。中程度の値であれば、この級数はきわめて高精度です。
