Qu'est-ce que l'intégrale sinus hyperbolique Shi(x) ?
L'intégrale sinus hyperbolique, notée \(\operatorname{Shi}(x)\), est une fonction spéciale définie comme l'intégrale définie de \(\sinh(t)/t\) entre 0 et \(x\). À première vue, on pourrait craindre que l'intégrande diverge en \(t = 0\), mais cette singularité est en réalité éliminable : lorsque \(t\) tend vers 0, le rapport \(\sinh(t)/t\) tend vers 1. Pour cette raison, \(\operatorname{Shi}(x)\) est analytique sur l'ensemble de la droite réelle, avec \(\operatorname{Shi}(0) = 0\). C'est par ailleurs une fonction impaire, ce qui signifie que \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez un nombre réel \(x\) dans le champ prévu à cet effet et le calculateur vous renvoie la valeur de \(\operatorname{Shi}(x)\). Lorsque \(x\) est strictement positif, il affiche également l'intégrale cosinus hyperbolique \(\operatorname{Chi}(x)\) associée. Pour \(x \le 0\), \(\operatorname{Chi}(x)\) est indiquée comme non définie, car elle fait intervenir \(\ln(x)\) et présente alors une coupure dans le plan complexe. Les résultats sont fournis avec environ douze chiffres significatifs, en arithmétique à double précision.
La formule expliquée
Cet outil somme la série de Maclaurin $$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \cdots$$ qui converge pour tout réel \(x\). Plus généralement,$$\operatorname{Shi}(x) = \int_0^{x} \frac{\sinh t}{t}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{\,2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}$$Chaque terme est calculé de proche en proche à partir du précédent afin d'éviter le débordement lié aux factorielles, et la sommation s'arrête dès qu'un nouveau terme devient négligeable par rapport au total cumulé. Quant à \(\operatorname{Chi}(x)\), elle se calcule via \(\gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots\), où \(\gamma\) désigne la constante d'Euler-Mascheroni, soit environ \(0{,}5772156649\).
Exemple détaillé
Pour \(x = 1\), la série donne $$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1{,}0572508754$$ La valeur de référence connue est \(\operatorname{Shi}(1) = 1{,}0572508753757285\), et \(\operatorname{Chi}(1) = 0{,}8378669409765007\), ce qui correspond bien au résultat affiché par le calculateur.
Foire aux questions
Shi(x) est-elle identique à l'intégrale sinus Si(x) ? Non. La fonction \(\operatorname{Si}(x)\) intègre \(\sin(t)/t\), tandis que \(\operatorname{Shi}(x)\) intègre la version hyperbolique \(\sinh(t)/t\). Elles sont reliées par la relation \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\).
Pourquoi Chi n'est-elle pas définie pour x ≤ 0 ? \(\operatorname{Chi}(x)\) contient le terme \(\ln(x)\) ; pour \(x\) négatif, ce dernier devient complexe, et en \(x = 0\), il diverge vers moins l'infini.
Jusqu'à quelle valeur peut-on aller pour x ? Comme \(\sinh\) croît à peu près comme \(e^{|x|}/2\), la double précision dépasse ses limites autour de \(|x| \approx 700\). Pour des valeurs modérées, la série reste extrêmement précise.
