Ce que fait ce calculateur
Pour un cercle de rayon r, cet outil détermine la longueur du côté et l'aire de chaque polygone régulier que l'on peut inscrire dans ce cercle — du triangle jusqu'au nombre de côtés que vous souhaitez. Il dresse un tableau avec une ligne pour chaque nombre entier de côtés n compris entre votre minimum et votre maximum, et affiche aussi l'aire du cercle lui-même, afin que vous puissiez observer l'aire du polygone tendre progressivement vers elle.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon du cercle r (dans l'unité de votre choix, du moment qu'elle reste cohérente : le côté s'exprimera dans cette unité et les aires dans cette unité au carré). Définissez la plage de côtés du polygone : de n (au moins 3) à n (au minimum égal à la borne inférieure). Le tableau est limité à 200 lignes pour rester rapide et lisible. Plus n est grand, plus le polygone épouse le cercle, et plus son aire se rapproche de celle du cercle.
Les formules expliquées
Un polygone régulier inscrit à n côtés se décompose en n triangles isocèles identiques. Chacun possède deux côtés de longueur égale au rayon, se rejoignant au centre selon un angle au sommet de \(2\pi/n\). Le côté du polygone correspond à la base du triangle, soit $$a = 2r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ (en utilisant le demi-angle \(\pi/n\)). Chaque triangle a une aire de \(\tfrac{1}{2}r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\), de sorte que l'aire totale du polygone vaut $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$ L'aire du cercle est simplement $$S_c = \pi r^{2}$$ Lorsque n \(\to \infty\), \(S_p \to S_c\) : c'est l'argument limite classique pour établir l'aire d'un cercle.
Exemple concret
Pour r = 1 et un hexagone régulier (n = 6) : $$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}5 = 1{,}0$$ $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60°) = 3\cdot 0{,}8660254 = 2{,}5980762$$ L'aire du cercle vaut \(S_c = \pi \approx 3{,}1415927\) : l'hexagone occupe donc déjà environ 83 % de la surface du cercle.
FAQ
Pourquoi n doit-il être au moins égal à 3 ? Un polygone exige au minimum trois côtés ; en deçà, il est impossible de délimiter une surface.
Quelles unités utiliser ? N'importe lesquelles : le rayon est utilisé tel quel, sans conversion. Si r est en cm, le côté est en cm et les aires en cm².
Pourquoi l'aire du polygone se rapproche-t-elle de celle du cercle ? Chaque côté supplémentaire fait du polygone une meilleure approximation du cercle ; ainsi, pour un grand n, l'écart d'aire tend vers zéro.
