Qu'est-ce qu'un cercle inscrit dans un carré ?
Un cercle inscrit est le plus grand cercle qui tient parfaitement à l'intérieur d'un carré, en touchant chacun de ses quatre côtés en un seul point. Comme le cercle relie un côté au côté opposé, son diamètre est égal à la longueur du côté du carré. Ce calculateur part de la longueur du côté du carré et vous renvoie instantanément le rayon, le diamètre, l'aire et la circonférence du cercle inscrit, ainsi que la part du carré que le cercle recouvre.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez la longueur du côté \(s\) de votre carré dans l'unité de votre choix : centimètres, pouces, mètres, etc. Les résultats s'expriment dans la même unité (les longueurs dans votre unité, les aires dans cette unité au carré). L'outil calcule tout automatiquement, y compris l'aire restante dans les quatre coins que le cercle ne recouvre pas.
La formule expliquée
Puisque le cercle inscrit touche les deux paires de côtés opposés, le diamètre \(d\) est égal à \(s\). Le rayon vaut donc la moitié du côté : $$r = \frac{s}{2}$$ En reportant ce rayon dans la formule classique de l'aire d'un cercle \(A = \pi r^2\), on obtient $$A = \pi\left(\frac{s}{2}\right)^2 = \frac{\pi s^2}{4}$$ La circonférence est \(C = \pi d = \pi s\), et l'aire du carré vaut simplement \(s^2\). La proportion du carré recouverte par le cercle est toujours \(\frac{\pi}{4} \approx 78{,}54\%\), quelle que soit sa taille.
Exemple concret
Imaginons un carré dont le côté mesure 10 unités. Le rayon est \(r = \frac{10}{2} = 5\) unités. L'aire du cercle vaut $$\frac{\pi \times 10^2}{4} = \frac{100\pi}{4} = 25\pi \approx 78{,}54 \text{ unités carrées.}$$ L'aire du carré étant de 100, l'aire restante dans les coins est de \(100 - 78{,}54 = 21{,}46\) unités carrées, soit un taux de couverture de \(78{,}54\%\).
Foire aux questions
Pourquoi le diamètre est-il égal à la longueur du côté ? Parce que le plus grand cercle touche les quatre côtés, il doit s'étendre sur toute la largeur du carré, ce qui rend son diamètre égal à \(s\).
Quel pourcentage du carré le cercle recouvre-t-il ? Toujours \(\frac{\pi}{4} \approx 78{,}54\%\), quelle que soit la taille du carré.
Quelles unités utiliser ? N'importe quelle unité, à condition de rester cohérent. Quelle que soit l'unité saisie pour le côté, les longueurs sont renvoyées dans cette unité et les aires dans cette unité au carré.
