正方形内切圆计算器

输入计算

正方形边长（s）

结果

内切圆面积

78.54

平方单位

圆半径（r = s/2）	5
圆直径	10
圆周长	31.42
正方形面积	100
剩余（四角）面积	21.46
覆盖率	78.54%

什么是正方形的内切圆？

内切圆是指能完美嵌入正方形内部的最大圆，它恰好与正方形的四条边各相切于一点。由于这个圆从一条边一直延伸到对边，因此它的直径正好等于正方形的边长。本计算器只需输入正方形的边长，就能即时算出内切圆的半径、直径、面积、周长，以及圆形覆盖了正方形多大的比例。

The largest circle inscribed in a square touches all four sides; its diameter equals the square's side length s.

如何使用本计算器

输入正方形的边长（\(s\)），单位可任意选择——厘米、英寸、米都可以。计算结果会沿用相同单位（长度用你输入的单位，面积则用该单位的平方）。工具会自动算出全部数据，包括圆形未能覆盖、留在四个角落的剩余面积。

公式详解

由于内切圆同时与两组对边相切，所以直径 \(d\) 等于边长 \(s\)。半径自然就是边长的一半：$$r = \frac{s}{2}$$把半径代入标准圆面积公式 \(A = \pi r^{2}\)，可得 $$A = \pi\left(\frac{s}{2}\right)^{2} = \frac{\pi s^{2}}{4}$$周长为 \(C = \pi d = \pi s\)，而正方形面积就是 \(s^{2}\)。无论尺寸大小，圆形占正方形面积的比例恒为 \(\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%\)。

Because the diameter spans the full side, r = s/2.

实例演算

假设一个正方形的边长为 10 个单位。半径为 $$r = \frac{10}{2} = 5 \text{ 个单位}$$ 圆面积为 $$\frac{\pi \times 10^{2}}{4} = \frac{100\pi}{4} = 25\pi \approx 78.54 \text{ 平方单位}$$ 正方形面积为 \(100\)，因此四角剩余面积为 \(100 - 78.54 = 21.46\) 平方单位，覆盖率为 \(78.54\%\)。

常见问题

为什么直径等于边长？因为最大的圆要同时与四条边相切，必须横跨整个正方形的宽度，所以它的直径正好等于边长 \(s\)。

圆形覆盖了正方形多大的比例？无论正方形多大，都恒为 \(\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%\)。

应该使用什么单位？任何统一的单位都可以。无论你为边长输入哪种单位，长度结果都用该单位返回，面积则用该单位的平方。