这个计算器能做什么
对于半径为 \(r\) 的圆，本工具可以计算每一个能内接于该圆的正多边形的边长和面积——从三角形开始，一直到任意多的边数。它会生成一张表格，在你设定的最小与最大边数之间，每一个整数边数 \(n\) 对应一行；同时还会给出圆本身的面积，让你清楚地看到多边形面积如何逐步逼近圆面积。
使用方法
填入圆的半径 \(r\)（可使用任意单位，只要前后一致——边长会以该单位输出，面积则以该单位的平方表示）。设定多边形边数的范围：起始 n（至少为 3）到 终止 n（不小于起始值）。为保证速度与可读性，表格最多显示 200 行。\(n\) 越大，多边形就越贴合圆，面积也越接近圆面积。
公式详解
一个内接正 n 边形可以拆分成 \(n\) 个全等的等腰三角形。每个三角形有两条长度等于半径的边，在圆心处相交，顶角为 \(2\pi/n\)。多边形的边即为三角形的底边：
$$a = 2\,r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$（这里用到半角 \(\pi/n\)）。每个三角形的面积为 \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\cdot\sin(2\pi/n)\)，因此整个多边形的面积为
$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$圆的面积则很简单：
$$S_c = \pi r^{2}$$当 \(n \rightarrow \infty\) 时，\(S_p \rightarrow S_c\)——这正是推导圆面积的经典极限思想。
实例演算
取 \(r = 1\)，正六边形（\(n = 6\)）：
$$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.5 = 1.0$$$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60^\circ) = 3\cdot 0.8660254 = 2.5980762$$圆面积为 \(S_c = \pi \approx 3.1415927\)，可见此时六边形已经填满了圆约 83% 的面积。
常见问题
为什么 n 至少要为 3？多边形至少需要三条边，少于三条无法围成一块面积。
应该使用什么单位？任意单位均可——半径会被直接代入计算，无需换算。如果 r 以厘米为单位，那么边长就是厘米，面积则是平方厘米。
为什么多边形面积会逼近圆面积？每多一条边，多边形就更接近圆，因此当 n 很大时，两者的面积差会越来越小，趋向于零。
