Что считает этот калькулятор
Инструмент находит для окружности радиуса r длину стороны и площадь каждого правильного многоугольника, который можно вписать в эту окружность — от треугольника и до любого числа сторон. Он строит таблицу, где каждая строка соответствует целому числу сторон n в заданном вами диапазоне от минимума до максимума, и дополнительно показывает площадь самой окружности, чтобы вы могли наблюдать, как площадь многоугольника к ней стремится.
Как пользоваться
Введите радиус окружности r (в любых единицах — лишь бы они были одинаковыми: сторона получится в тех же единицах, а площади — в их квадрате). Задайте диапазон числа сторон: от n (не меньше 3) до n (не меньше минимума). Таблица ограничена 200 строками — так она остаётся быстрой и удобной для чтения. Чем больше n, тем плотнее многоугольник прилегает к окружности, поэтому его площадь всё ближе к площади круга.
Разбор формул
Вписанный правильный n-угольник разбивается на n одинаковых равнобедренных треугольников. У каждого две стороны равны радиусу и сходятся в центре под углом \(\frac{2\pi}{n}\). Сторона многоугольника — это основание такого треугольника:
$$a = 2\,r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$(здесь работает половинный угол \(\frac{\pi}{n}\)). Площадь одного треугольника равна \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\), поэтому площадь всего многоугольника составляет
$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$Площадь круга — это просто
$$S_c = \pi\,r^{2}$$При \(n \to \infty\) величина \(S_p \to S_c\) — классический предельный переход для вывода площади круга.
Пример расчёта
Пусть \(r = 1\) и правильный шестиугольник (\(n = 6\)):
$$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}5 = 1{,}0$$$$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60^\circ) = 3\cdot 0{,}8660254 = 2{,}5980762$$Площадь круга равна \(S_c = \pi \approx 3{,}1415927\), то есть шестиугольник уже занимает около 83% площади круга.
Частые вопросы
Почему n должно быть не меньше 3? У многоугольника должно быть минимум три стороны — меньшее число не способно ограничить площадь.
В каких единицах считать? В любых — радиус используется напрямую, без всякого пересчёта. Если r задан в см, то сторона будет в см, а площади — в см².
Почему площадь многоугольника приближается к площади круга? Каждая новая сторона делает многоугольник всё более точным приближением окружности, поэтому при больших n разница площадей стремится к нулю.
