이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 반지름이 r인 원에 대해, 그 원에 내접할 수 있는 모든 정다각형의 변의 길이와 넓이를 계산합니다. 삼각형부터 원하는 만큼 많은 변을 가진 다각형까지 다룰 수 있습니다. 지정한 최소·최댓값 사이의 모든 정수 변의 수 n에 대해 한 줄씩 표를 만들어 주며, 원 자체의 넓이도 함께 표시하므로 다각형의 넓이가 점점 원의 넓이에 가까워지는 모습을 직접 확인할 수 있습니다.
사용 방법
원의 반지름 \(r\)을 입력하세요(단위는 자유롭게 선택할 수 있으며, 일관되게만 쓰면 됩니다. 변의 길이는 같은 단위로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다). 그다음 다각형 변의 수 범위를 정합니다. 시작 n(최소 3 이상)부터 끝 n(시작값 이상)까지 설정하면 됩니다. 표는 속도와 가독성을 위해 최대 200줄로 제한됩니다. \(n\)이 커질수록 다각형이 원에 더 바짝 붙으므로, 그 넓이는 원의 넓이에 점점 가까워집니다.
공식 풀이
원에 내접하는 정n각형은 똑같은 모양의 이등변삼각형 n개로 나눌 수 있습니다. 각 삼각형은 반지름 길이의 두 변이 중심에서 만나며, 그 꼭짓점의 각은 \(2\pi/n\)입니다. 다각형의 한 변은 이 삼각형의 밑변에 해당하며, $$a = 2\,r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$입니다(반각 \(\pi/n\)을 사용). 삼각형 하나의 넓이는 \(\frac{1}{2}r^{2}\cdot\sin(2\pi/n)\)이므로, 다각형 전체의 넓이는 $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$이 됩니다. 원의 넓이는 단순히 $$S_c = \pi r^{2}$$입니다. \(n\)이 무한대로 갈수록 \(S_p\)는 \(S_c\)에 수렴하는데, 이것이 바로 원의 넓이를 구하는 고전적인 극한 논증입니다.
계산 예시
\(r = 1\)이고 정육각형(\(n = 6\))일 때를 살펴봅시다. $$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.5 = 1.0$$ $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60°) = 3\cdot 0.8660254 = 2.5980762$$ 원의 넓이는 \(S_c = \pi \approx 3.1415927\)이므로, 정육각형만으로도 이미 원의 약 83%를 채우는 셈입니다.
자주 묻는 질문
왜 n은 3 이상이어야 하나요? 다각형은 최소한 세 개의 변이 있어야 합니다. 그보다 적으면 넓이를 둘러쌀 수 없기 때문입니다.
어떤 단위를 써야 하나요? 무엇이든 상관없습니다. 반지름은 변환 없이 그대로 사용됩니다. \(r\)이 cm 단위라면 변의 길이도 cm, 넓이는 cm² 단위로 나옵니다.
왜 다각형의 넓이가 원의 넓이에 가까워지나요? 변을 하나씩 더할 때마다 다각형은 원을 더 잘 근사하게 되므로, \(n\)이 커지면 넓이의 차이가 0에 가까워집니다.
