원에 내접하는 정다각형 계산기

계산 입력

원의 반지름 r

다각형 변의 수 시작 n

까지 (정n각형)

결과

원의 넓이 S_c

3.141593

길이 단위의 제곱 (n이 커질 때 다각형 넓이의 극한값)

변의 수 n	다각형의 한 변 a	다각형의 넓이 S_p
3	1.732051	1.299038
4	1.414214	2
5	1.175571	2.377641
6	1	2.598076
7	0.867767	2.73641
8	0.765367	2.828427
9	0.68404	2.892544
10	0.618034	2.938926
11	0.563465	2.973524
12	0.517638	3

이 계산기로 할 수 있는 일

이 도구는 반지름이 r인 원에 대해, 그 원에 내접할 수 있는 모든 정다각형의 변의 길이와 넓이를 계산합니다. 삼각형부터 원하는 만큼 많은 변을 가진 다각형까지 다룰 수 있습니다. 지정한 최소·최댓값 사이의 모든 정수 변의 수 n에 대해 한 줄씩 표를 만들어 주며, 원 자체의 넓이도 함께 표시하므로 다각형의 넓이가 점점 원의 넓이에 가까워지는 모습을 직접 확인할 수 있습니다.

원에 내접한 정다각형: 각 꼭짓점은 반지름 r인 원 위에 있다.

사용 방법

원의 반지름 \(r\)을 입력하세요(단위는 자유롭게 선택할 수 있으며, 일관되게만 쓰면 됩니다. 변의 길이는 같은 단위로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다). 그다음 다각형 변의 수 범위를 정합니다. 시작 n(최소 3 이상)부터 끝 n(시작값 이상)까지 설정하면 됩니다. 표는 속도와 가독성을 위해 최대 200줄로 제한됩니다. \(n\)이 커질수록 다각형이 원에 더 바짝 붙으므로, 그 넓이는 원의 넓이에 점점 가까워집니다.

공식 풀이

원에 내접하는 정n각형은 똑같은 모양의 이등변삼각형 n개로 나눌 수 있습니다. 각 삼각형은 반지름 길이의 두 변이 중심에서 만나며, 그 꼭짓점의 각은 \(2\pi/n\)입니다. 다각형의 한 변은 이 삼각형의 밑변에 해당하며, $$a = 2\,r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$입니다(반각 \(\pi/n\)을 사용). 삼각형 하나의 넓이는 \(\frac{1}{2}r^{2}\cdot\sin(2\pi/n)\)이므로, 다각형 전체의 넓이는 $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot r^{2}\cdot\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$이 됩니다. 원의 넓이는 단순히 $$S_c = \pi r^{2}$$입니다. \(n\)이 무한대로 갈수록 \(S_p\)는 \(S_c\)에 수렴하는데, 이것이 바로 원의 넓이를 구하는 고전적인 극한 논증입니다.

n개 삼각형 중 하나: 반각 π/n이 변과 반지름을 연결한다.

계산 예시

\(r = 1\)이고 정육각형(\(n = 6\))일 때를 살펴봅시다. $$a = 2\cdot 1\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.5 = 1.0$$ $$S_p = \tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 1\cdot\sin(60°) = 3\cdot 0.8660254 = 2.5980762$$ 원의 넓이는 \(S_c = \pi \approx 3.1415927\)이므로, 정육각형만으로도 이미 원의 약 83%를 채우는 셈입니다.

자주 묻는 질문

왜 n은 3 이상이어야 하나요? 다각형은 최소한 세 개의 변이 있어야 합니다. 그보다 적으면 넓이를 둘러쌀 수 없기 때문입니다.

어떤 단위를 써야 하나요? 무엇이든 상관없습니다. 반지름은 변환 없이 그대로 사용됩니다. \(r\)이 cm 단위라면 변의 길이도 cm, 넓이는 cm² 단위로 나옵니다.

왜 다각형의 넓이가 원의 넓이에 가까워지나요? 변을 하나씩 더할 때마다 다각형은 원을 더 잘 근사하게 되므로, \(n\)이 커지면 넓이의 차이가 0에 가까워집니다.