넓이로 구하는 정다각형의 변의 길이와 둘레

계산 입력

넓이 S (제곱 단위)

변의 개수 n (정삼각형 = 3, 정사각형 = 4, 5, …)

결과

한 변의 길이 a

1.519671

길이 단위

둘레 L	4.559014 length units
넓이 S	1 square units
변의 개수 n	3

이 계산기는 무엇을 하나요

이 도구는 이미 알고 있는 넓이에서 거꾸로 계산합니다. 정다각형(모든 변과 모든 각이 같은 도형)의 넓이 \(S\)와 변의 개수 \(n\)을 입력하면 한 변의 길이 \(a\)와 전체 둘레 \(L\)을 구해 줍니다. 흔히 쓰는 '변의 길이로 넓이를 구하는' 공식의 역(逆)에 해당하며, 도형이 덮어야 할 면적은 정해져 있는데 변의 치수를 알아야 하는 디자인, 타일링, 기하 숙제, CAD 설계 작업에서 특히 유용합니다.

공식 풀이

길이가 \(a\)로 같은 \(n\)개의 변을 가진 정다각형의 넓이는 $$S = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$ 입니다. 이 식을 \(a\)에 대해 풀면 $$a = \sqrt{\frac{4S \cdot \tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{n}}$$ 이 되고, 둘레는 간단히 $$L = n \cdot a$$ 로 구해집니다. 여기서 각 \(\frac{\pi}{n}\)은 라디안 단위입니다(코드에서는 Math.PI / n). \(n\)이 커질수록 \(\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\)은 \(\frac{\pi}{n}\)에 가까워지고, 다각형은 같은 넓이를 가진 원에 점점 수렴합니다.

정다각형을 \(n\)개의 합동인 삼각형으로 나누면 넓이 \(S\)와 변의 길이 \(a\)의 관계를 알 수 있다.

사용 방법

넓이 \(S\)를 일관된 제곱 단위(cm², m², in², 또는 단위 없이)로 입력한 다음, 변의 개수 \(n\)을 입력합니다(정삼각형은 3, 정사각형은 4, 정오각형은 5, …). 한 변의 길이 \(a\)는 그에 맞는 길이 단위로 출력됩니다. 예를 들어 넓이를 cm²로 입력하면 변의 길이는 cm로 나옵니다.

예제로 확인하기

넓이 \(S = 100\), \(n = 4\)인 정사각형을 살펴봅시다. 이때 \(\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) 이므로 $$a = \sqrt{\frac{4 \cdot 100 \cdot 1}{4}} = \sqrt{100} = 10$$ 이고, 둘레는 $$L = 4 \cdot 10 = 40$$ 입니다. 이는 정확히 \(10 \times 10\) 정사각형에 둘레 40과 일치하므로 결과가 맞다는 것을 확인할 수 있습니다.

예제: 알려진 넓이 \(S\)와 \(n\)개의 변으로부터 각 변의 길이 \(a\)를 구한다.

자주 묻는 질문

왜 \(n\)이 최소 3이어야 하나요? 변이 세 개보다 적으면 면적을 둘러쌀 수 없어 다각형이 되지 않습니다. \(n = 2\)일 때는 \(\tan\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\) 항이 발산합니다.

결과는 어떤 단위로 나오나요? 변의 길이와 둘레는 넓이의 제곱 단위에 대응하는 길이 단위로 나옵니다. \(S\)가 m²이면 \(a\)와 \(L\)은 m로 표시됩니다.

정다각형이어야만 하나요? 네. 모든 변과 모든 각이 같아야 합니다. 변이나 각이 제각각인 불규칙 다각형은 넓이만으로는 풀 수 없습니다.