이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 직사각형의 넓이(A)와 둘레(P)만 알고 있을 때, 알려지지 않은 가로와 세로 길이를 찾아줍니다. 대부분의 직사각형 계산기는 변의 길이를 입력받지만, 이 계산기는 반대로 작동합니다. 즉, 가장 흔히 측정되는 두 가지 값(넓이와 둘레)으로부터 변의 길이를 거꾸로 복원해 주죠. 덤으로 대각선 길이까지 함께 알려드립니다.
사용 방법
넓이와 둘레를 단위가 서로 일치하도록 입력하세요(예: 넓이는 제곱미터, 둘레는 미터). '계산' 버튼을 누르면 긴 변을 가로(길이)로, 짧은 변을 세로(너비)로 보여주고 대각선 길이도 함께 출력합니다. 입력한 두 값으로 만들 수 있는 직사각형이 실제로 존재하지 않으면 그 사실을 안내해 드립니다.
공식 풀이
가로가 l, 세로가 w인 직사각형에서 넓이는 \(A = l \cdot w\), 둘레는 \(P = 2(l + w)\)입니다. 둘레 식에서 \(l + w = P/2\)가 됩니다. 따라서 가로와 세로는 이차방정식 \(x^{2} - (P/2)x + A = 0\)의 두 근이 됩니다. 이를 풀면 다음과 같습니다:
$$w = \frac{P/2 - \sqrt{(P/2)^{2} - 4A}}{2}, \qquad l = \frac{P/2 + \sqrt{(P/2)^{2} - 4A}}{2}.$$
실수 해는 판별식 \((P/2)^{2} - 4A\)가 0 이상일 때만 존재합니다. 판별식이 정확히 0이면 그 직사각형은 정사각형이 됩니다.
예제 풀이
\(A = 12\), \(P = 14\)라고 해봅시다. 그러면 \(P/2 = 7\)이고, 판별식은 \(7^{2} - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\)이므로 \(\sqrt{1} = 1\)입니다. 세로 \(= (7 - 1)/2 = 3\), 가로 \(= (7 + 1)/2 = 4\)가 됩니다. 대각선은 \(\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5\)입니다. 즉, 이 직사각형은 \(4 \times 3\)이고 대각선 길이는 5입니다.
자주 묻는 질문
왜 "실제 직사각형이 없다"고 나오나요? 입력하신 값으로는 실제 직사각형을 만들 수 없기 때문입니다. 둘레가 정해져 있으면 가질 수 있는 넓이에는 최댓값(정사각형일 때)이 있습니다. 따라서 넓이가 \((P/4)^{2}\)를 넘으면 실수 해가 존재하지 않습니다.
어느 변이 가로(길이)인가요? 관례상 더 큰 근을 가로(길이)로, 더 작은 근을 세로(너비)로 표시합니다.
정사각형도 계산되나요? 네. 판별식이 0이면 가로와 세로가 같아져 정사각형이 됩니다.
