यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी आयत की अज्ञात लंबाई और चौड़ाई तब पता करता है, जब आपके पास सिर्फ़ उसका क्षेत्रफल (A) और परिमाप (P) ही हो। ज़्यादातर आयत कैलकुलेटर आपसे भुजाएँ पूछते हैं, लेकिन यह उल्टा काम करता है — दुनिया भर में सबसे ज़्यादा मापे जाने वाले इन्हीं दो मानों से भुजाओं की लंबाई वापस निकाल देता है। साथ ही बोनस के रूप में विकर्ण भी बता देता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
क्षेत्रफल और परिमाप किसी भी एक जैसी इकाई में डालें (जैसे क्षेत्रफल के लिए वर्ग मीटर और परिमाप के लिए मीटर)। फिर गणना करें पर क्लिक करें — टूल बड़ी भुजा को लंबाई, छोटी भुजा को चौड़ाई और साथ में विकर्ण भी बताएगा। अगर इन दोनों मानों वाला कोई वास्तविक आयत संभव नहीं है, तो कैलकुलेटर आपको यह भी बता देगा।
सूत्र की समझ
मान लीजिए किसी आयत की लंबाई l और चौड़ाई w है। तब क्षेत्रफल \(A = l \cdot w\) और परिमाप \(P = 2(l + w)\) होता है। परिमाप से हमें मिलता है \(l + w = P/2\)। इसलिए लंबाई और चौड़ाई असल में इस द्विघात समीकरण \(x^{2} - (P/2)x + A = 0\) के दो मूल (roots) हैं। इसे हल करने पर मिलता है:
$$L,\,W = \frac{s \pm \sqrt{s^{2} - 4\,\text{Area }(A)}}{2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} s &= \frac{\text{Perimeter }(P)}{2} \\ L &= \frac{s + \sqrt{s^{2} - 4A}}{2} \\ W &= \frac{s - \sqrt{s^{2} - 4A}}{2} \end{aligned} \right.$$वास्तविक हल तभी मिलता है जब विविक्तकर (discriminant) \((P/2)^{2} - 4A\) शून्य या उससे बड़ा हो। जब यह बिल्कुल शून्य होता है, तब आयत एक वर्ग बन जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A = 12\) और \(P = 14\) है। तब \(P/2 = 7\) होगा और विविक्तकर निकलेगा $$7^{2} - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1,$$ यानी \(\sqrt{1} = 1\)। चौड़ाई \(= (7 - 1)/2 = 3\) और लंबाई \(= (7 + 1)/2 = 4\)। विकर्ण $$= \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5.$$ तो यह आयत \(4 \times 3\) का है, जिसका विकर्ण 5 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मुझे "कोई वास्तविक आयत संभव नहीं" क्यों दिखता है? आपके डाले गए मान किसी असली आयत को नहीं दर्शा सकते। किसी निश्चित परिमाप के लिए अधिकतम संभव क्षेत्रफल (एक वर्ग का) होता है, इसलिए अगर आपका क्षेत्रफल \((P/4)^{2}\) से ज़्यादा है तो कोई वास्तविक भुजाएँ मौजूद नहीं होंगी।
कौन-सी भुजा लंबाई होती है? परंपरा के अनुसार बड़े मूल को लंबाई और छोटे मूल को चौड़ाई माना जाता है।
क्या यह वर्ग के लिए भी काम करेगा? हाँ — जब विविक्तकर शून्य होता है, तब लंबाई और चौड़ाई बराबर हो जाती हैं और आपको एक वर्ग मिलता है।
