भाजक कैलकुलेटर

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संख्या (n)

परिणाम

Number of Divisors of 36

9

धनात्मक भाजक

सभी भाजक	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
कुल संख्या	9
भाजकों का योग	91

भाजक कैलकुलेटर क्या है?

किसी संख्या n का भाजक (या गुणनखंड) वह धनात्मक पूर्णांक होता है जो n को पूरी तरह विभाजित कर दे और शेषफल शून्य रहे। यह कैलकुलेटर आपकी डाली गई संख्या के हर भाजक को खोजता है और फिर पूरी सूची, कुल कितने भाजक हैं, और उनका योग बताता है। यह किसी भी धनात्मक पूर्ण संख्या पर काम करता है और गुणनखंड निकालने, भिन्नों को सरल बनाने, संख्या सिद्धांत (number theory) के होमवर्क, तथा यह जाँचने में काम आता है कि कोई संख्या अभाज्य (prime) है या पूर्ण संख्या (perfect number)।

इसका उपयोग कैसे करें

बॉक्स में एक धनात्मक पूर्ण संख्या टाइप करें और सबमिट करें। कैलकुलेटर 1 से लेकर n तक हर संभावित संख्या को जाँचता है और उन्हीं को रखता है जो पूरी तरह विभाजित कर दें। बड़ी संख्याओं के लिए भी तेज़ रहने हेतु यह केवल n के वर्गमूल तक के मानों की जाँच करता है और हर भाजक की जोड़ीदार संख्या साथ जोड़ देता है, जिससे परिणाम लगभग तुरंत मिल जाते हैं।

सूत्र की व्याख्या

भाजकों का समुच्चय इस तरह परिभाषित होता है:

$$D(n) = \left\{\, d : 1 \le d \le n \text{ और } n \bmod d = 0 \,\right\}$$

"mod" संक्रिया किसी विभाजन का शेषफल देती है; जब यह शेषफल 0 हो, तो वह भाजक n में पूरी तरह समा जाता है। भाजकों की संख्या बस इसी समुच्चय का आकार है, और भाजकों का योग \(\sigma(n)\) इसके हर सदस्य को जोड़ देता है।

भाजक जोड़ों में आते हैं जिनका गुणनफल मूल संख्या होता है (यहाँ \(12 = 1\times12 = 2\times6 = 3\times4\))।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(n = 36\)। हम हर संख्या जाँचते हैं: 1, 2, 3, 4, 6 — ये सभी 36 को विभाजित करते हैं, और इनकी जोड़ीदार संख्याएँ 36, 18, 12, 9, 6 भी। इन्हें इकट्ठा कर क्रम में रखने पर भाजक मिलते हैं 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — यानी कुल 9 भाजक। इनका योग है

$$1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 91$$

गुणनखंड वृक्ष किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ता है, जो भाजक गिनने का आधार है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या 1 हर संख्या का भाजक होता है? हाँ। 1 और स्वयं वह संख्या — दोनों हमेशा उसे पूरी तरह विभाजित करते हैं, इसलिए 1 या उससे बड़ी हर संख्या के पास कम से कम ये दो भाजक तो होते ही हैं।

कैसे पता करें कि कोई संख्या अभाज्य है? अभाज्य संख्या के ठीक 2 भाजक होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या। अगर भाजकों की संख्या 2 है, तो वह संख्या अभाज्य है।

पूर्ण संख्या (perfect number) क्या होती है? पूर्ण संख्या वह होती है जो खुद को छोड़कर अपने बाकी भाजकों के योग के बराबर हो — दूसरे शब्दों में, उसके सभी भाजकों का योग उस संख्या के दोगुने के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, 6 के भाजक 1, 2, 3, 6 हैं जिनका योग \(12 = 2 \times 6\) है।