Ce que fait ce calculateur
Cet outil détermine la longueur et la largeur inconnues d'un rectangle lorsque vous connaissez uniquement son aire (A) et son périmètre (P). Alors que la plupart des calculateurs de rectangle vous demandent la mesure des côtés, celui-ci fonctionne dans l'autre sens : il reconstitue la longueur des côtés à partir des deux grandeurs les plus couramment mesurées. En prime, il vous donne également la diagonale.
Comment l'utiliser
Saisissez l'aire et le périmètre dans des unités cohérentes (par exemple, des mètres carrés pour l'aire et des mètres pour le périmètre). Cliquez sur « Calculer » : l'outil affiche le plus grand côté comme longueur, le plus petit comme largeur, ainsi que la diagonale. Si aucun rectangle réel ne peut posséder ces deux valeurs, le calculateur vous le signale.
La formule expliquée
Pour un rectangle de longueur l et de largeur w, l'aire vaut \(A = l \cdot w\) et le périmètre \(P = 2(l + w)\). À partir du périmètre, on obtient \(l + w = P/2\). La longueur et la largeur sont donc les deux racines de l'équation du second degré \(x^{2} - (P/2)x + A = 0\). La résolution donne :
$$w = \frac{P/2 - \sqrt{(P/2)^{2} - 4A}}{2} \quad \text{et} \quad l = \frac{P/2 + \sqrt{(P/2)^{2} - 4A}}{2}.$$
Une solution réelle n'existe que si le discriminant \((P/2)^{2} - 4A\) est positif ou nul. Lorsqu'il est égal à zéro, le rectangle est un carré.
Exemple résolu
Supposons \(A = 12\) et \(P = 14\). On a alors \(P/2 = 7\) et le discriminant vaut \(7^{2} - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\), donc \(\sqrt{1} = 1\). La largeur \(= (7 - 1)/2 = 3\) et la longueur \(= (7 + 1)/2 = 4\). La diagonale est \(\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Le rectangle mesure donc \(4 \times 3\) avec une diagonale de 5.
FAQ
Pourquoi ai-je le message « aucun rectangle réel » ? Les valeurs que vous avez saisies ne peuvent pas correspondre à un rectangle réel. Pour un périmètre fixé, il existe une aire maximale possible (celle du carré) ; si votre aire dépasse \((P/4)^{2}\), aucun côté réel n'existe.
Quel côté correspond à la longueur ? Par convention, la plus grande racine est indiquée comme longueur et la plus petite comme largeur.
L'outil gère-t-il le cas du carré ? Oui : lorsque le discriminant est nul, la longueur est égale à la largeur et vous obtenez un carré.
