Que sont les identités de l'angle double ?
Les identités de l'angle double sont des formules trigonométriques qui expriment le sinus, le cosinus et la tangente du double d'un angle (2θ) en fonction des fonctions trigonométriques de l'angle initial θ. Ce sont des outils incontournables en trigonométrie, en analyse et en physique : elles servent à simplifier des expressions, à résoudre des équations et à calculer des intégrales. Cette calculatrice évalue les trois identités pour n'importe quel angle saisi, que vous l'exprimiez en degrés ou en radians.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez votre angle \(\theta\) dans le champ prévu, indiquez s'il est mesuré en degrés ou en radians, et la calculatrice affiche instantanément \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) et \(\tan(2\theta)\). Comme l'identité de la tangente comporte le terme \((1 - \tan^{2}\theta)\) au dénominateur, le résultat de \(\tan(2\theta)\) n'est pas défini pour certains angles, comme 45° (où \(\tan^{2}\theta = 1\)) ou encore 90°, où la tangente elle-même tend vers l'infini.
Les formules expliquées
Les trois identités fondamentales sont les suivantes :
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ — obtenue à partir de la formule d'addition \(\sin(a+b)\) avec \(a = b = \theta\).
$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$$ — l'une des trois formes équivalentes (elle vaut également \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\) et \(2\cos^{2}\theta - 1\)).
$$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$$ — obtenue en divisant l'identité du sinus par celle du cosinus.
Exemple détaillé
Prenons \(\theta = 30°\). On a alors \(\sin\theta = 0{,}5\) et \(\cos\theta = 0{,}8660\). Donc $$\sin(2\theta) = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}8660 = 0{,}8660,$$ ce qui correspond bien à \(\sin(60°)\). De même, $$\cos(2\theta) = 1 - 2(0{,}5)^{2} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5 = \cos(60°),$$ et $$\tan(2\theta) = \frac{2(0{,}5774)}{1 - 0{,}3333} = \frac{1{,}1547}{0{,}6667} = 1{,}7321 = \tan(60°).$$
FAQ
Pourquoi tan(2θ) n'est-il parfois pas défini ? Lorsque \(1 - \tan^{2}\theta = 0\) (pour θ = 45°, 135°, …), le dénominateur s'annule : \(\tan(2\theta)\) présente alors une asymptote verticale et n'admet aucune valeur finie.
Puis-je utiliser des angles négatifs ? Oui. Les identités sont valables pour tous les angles réels, positifs comme négatifs.
Quelle forme du cosinus est utilisée ici ? La calculatrice emploie \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^{2}\theta\), mais les trois formes donnent des résultats numériques identiques.
