Công thức góc nhân đôi là gì?
Công thức góc nhân đôi là những công thức lượng giác cho phép biểu diễn sin, cos và tan của một góc gấp đôi (2θ) thông qua các giá trị lượng giác của chính góc gốc θ. Đây là công cụ nền tảng trong lượng giác, giải tích và vật lý — rất hữu ích khi rút gọn biểu thức, giải phương trình hay tính tích phân. Máy tính này sẽ tính cả ba giá trị này cho bất kỳ góc nào bạn nhập, dù tính theo độ hay radian.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập góc \(\theta\) vào ô nhập liệu, chọn đơn vị là độ hay radian, máy tính sẽ lập tức trả về \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) và \(\tan(2\theta)\). Vì công thức tang có mẫu số chứa \((1 - \tan^{2}\theta)\), nên kết quả \(\tan(2\theta)\) sẽ không xác định tại những góc như 45° (khi \(\tan^{2}\theta = 1\)) và tại 90° — nơi bản thân hàm tang đã không xác định.
Giải thích các công thức
Ba công thức cốt lõi gồm:
$$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$ — suy ra từ công thức cộng góc \(\sin(a+b)\) với \(a = b = \theta\).
$$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^{2}\theta$$ — một trong ba dạng tương đương (nó cũng bằng \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\) và \(2\cos^{2}\theta - 1\)).
$$\tan(2\theta) = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$$ — có được bằng cách chia công thức sin cho công thức cos.
Ví dụ minh họa
Lấy \(\theta = 30°\). Khi đó \(\sin\theta = 0{,}5\) và \(\cos\theta = 0{,}8660\). Vậy $$\sin(2\theta) = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}8660 = 0{,}8660,$$ đúng bằng \(\sin(60°)\). Tương tự, $$\cos(2\theta) = 1 - 2(0{,}5)^{2} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5 = \cos(60°),$$ và $$\tan(2\theta) = \dfrac{2(0{,}5774)}{1 - 0{,}3333} = \dfrac{1{,}1547}{0{,}6667} = 1{,}7321 = \tan(60°).$$
Câu hỏi thường gặp
Vì sao \(\tan(2\theta)\) đôi khi không xác định? Khi \(1 - \tan^{2}\theta = 0\) (tại \(\theta = 45°, 135°, \dots\)), mẫu số bằng 0, nên \(\tan(2\theta)\) có tiệm cận đứng và không có giá trị hữu hạn.
Tôi có thể dùng góc âm không? Hoàn toàn được. Các công thức này đúng với mọi góc thực, dương hay âm.
Máy tính dùng dạng nào của cos? Máy dùng \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^{2}\theta\), nhưng cả ba dạng đều cho ra kết quả số giống hệt nhau.
