Qu'est-ce qu'un dodécagone ?
Un dodécagone est un polygone composé de 12 côtés et de 12 angles. Dans un dodécagone régulier, tous les côtés ont la même longueur et chaque angle intérieur mesure exactement 150°. Ce calculateur détermine l'aire et le périmètre d'un dodécagone régulier à partir d'une seule donnée : la longueur du côté a.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la longueur d'un côté du dodécagone, puis lancez le calcul. L'outil affiche l'aire délimitée (en unités carrées) ainsi que le périmètre total. L'unité que vous choisissez pour le côté (cm, m, pouces) détermine celle du résultat : l'aire s'exprime dans cette unité au carré.
La formule expliquée
L'aire exacte d'un dodécagone régulier est donnée par :
$$A = 3\left(2 + \sqrt{3}\right)\,a^{2}$$
Elle découle de la formule générale de l'aire d'un polygone régulier, \(A = \frac{1}{4}\cdot n\cdot a^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\), avec \(n = 12\). Comme \(\cot\!\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}\), la constante se simplifie en \(3(2 + \sqrt{3}) \approx 11{,}196152\). Le périmètre, lui, vaut simplement 12 fois la longueur du côté.
Exemple concret
Imaginons un dodécagone régulier dont chaque côté mesure 10 unités. On obtient alors :
$$A = 3 \times (2 + 1{,}7320508) \times 10^{2} = 3 \times 3{,}7320508 \times 100 = 1\,119{,}62 \text{ unités carrées}$$ et le périmètre est de \(12 \times 10 = 120\) unités.
FAQ
Cela fonctionne-t-il pour les dodécagones irréguliers ? Non. La formule suppose un dodécagone régulier dont tous les côtés et tous les angles sont égaux. Pour une forme irrégulière, il faut la découper en triangles.
Que représente la constante \(3(2+\sqrt{3})\) ? Elle vaut environ 11,196152 : c'est l'aire d'un dodécagone régulier dont le côté mesure exactement 1.
Puis-je utiliser n'importe quelle unité ? Oui. Le résultat reprend simplement le carré de l'unité de longueur saisie pour le côté.
