정십이각형 넓이 계산기

계산 입력

한 변의 길이 (a)

결과

십이각형 넓이

1,119.62

제곱 단위

둘레	120 units
변의 개수	12

십이각형이란?

십이각형은 변이 12개, 각이 12개인 다각형입니다. 정십이각형은 모든 변의 길이가 같고 모든 내각이 150°로 동일한 도형을 말합니다. 이 계산기는 한 가지 값, 즉 한 변의 길이 a만 알면 정십이각형의 넓이와 둘레를 바로 계산해 줍니다.

정십이각형은 길이가 a인 12개의 같은 변을 가집니다.

계산기 사용 방법

십이각형 한 변의 길이를 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 도형 내부의 넓이(제곱 단위)와 전체 둘레 길이가 결과로 나옵니다. 변의 길이를 입력할 때 사용한 단위(cm, m, inch 등)에 따라 결과 단위가 정해지며, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.

공식 풀이

정십이각형의 정확한 넓이는 다음과 같습니다.

$$A = 3\left(2 + \sqrt{3}\right)\,a^{2}$$

이 식은 정다각형 넓이의 일반 공식 \(A = \frac{1}{4}\cdot n \cdot a^{2}\cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\)에서 \(n = 12\)를 대입해 얻은 것입니다. \(\cot\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}\) 이므로 상수는 \(3\left(2 + \sqrt{3}\right) \approx 11.196152\) 로 정리됩니다. 둘레는 단순히 한 변의 길이에 12를 곱한 값입니다.

넓이는 합동인 삼각형 12개와 같으며, \(A = 3(2+\sqrt{3})a^{2}\)입니다.

예제로 풀어보기

정십이각형의 한 변이 10 단위라고 가정해 봅시다. 그러면 다음과 같이 계산됩니다.

$$A = 3 \times (2 + 1.7320508) \times 10^{2} = 3 \times 3.7320508 \times 100 = \mathbf{1{,}119.62 \text{ 제곱 단위}}$$이고, 둘레는 \(12 \times 10 = 120\) 단위입니다.

자주 묻는 질문

일반(부정형) 십이각형에도 쓸 수 있나요? 아니요. 이 공식은 모든 변과 각이 동일한 정십이각형을 전제로 합니다. 변의 길이가 제각각인 도형은 여러 개의 삼각형으로 나누어 계산해야 합니다.

상수 \(3(2+\sqrt{3})\)은 무엇인가요? 약 11.196152로, 한 변의 길이가 정확히 1인 정십이각형의 넓이를 뜻합니다.

어떤 단위든 사용할 수 있나요? 네. 변에 입력한 길이 단위를 그대로 제곱한 값이 결과 단위가 됩니다.