十二邊形面積計算器

輸入計算

邊長 (a)

結果

十二邊形面積

1,119.62

平方單位

周長	120 units
邊數	12

什麼是十二邊形？

十二邊形是一種擁有 12 條邊與 12 個角的多邊形。正十二邊形的每一條邊長度都相等，且每個內角都恰好為 150°。本計算器只需一項測量值——邊長 \(a\)，就能直接算出正十二邊形的面積與周長。

正十二邊形有 12 條長度為 a 的相等邊。

如何使用本計算器

輸入十二邊形其中一條邊的長度，再按下計算即可。工具會回傳所圍出的面積（以平方單位表示）以及總周長。邊長使用什麼單位（公分、公尺、英吋），答案就採用對應的單位——面積即為該單位的平方。

公式說明

正十二邊形的精確面積公式為：

$$A = 3\left(2 + \sqrt{3}\right)\,a^{2}$$

此式由正多邊形面積通式 $$A = \frac{1}{4} \cdot n \cdot a^{2} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ 取 \(n = 12\) 推導而來。由於 \(\cot\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}\)，常數因此化簡為 \(3(2 + \sqrt{3}) \approx 11.196152\)。至於周長，就是邊長的 12 倍。

面積等於 12 個全等三角形，得 \(A = 3(2+\sqrt{3})a^{2}\)。

實際範例

假設一個正十二邊形的每條邊長為 10 單位，則：

$$A = 3 \times \left(2 + 1.7320508\right) \times 10^{2} = 3 \times 3.7320508 \times 100 = \mathbf{1{,}119.62 \text{ 平方單位}}$$，而周長為 \(12 \times 10 = 120\) 單位。

常見問題

這個公式適用於不規則十二邊形嗎？不行。此公式的前提是所有邊長與內角皆相等的正十二邊形。不規則形狀必須先拆分成若干三角形再分別計算。

常數 \(3(2+\sqrt{3})\) 代表什麼？它約等於 11.196152，正是邊長恰好為 1 的正十二邊形的面積。

可以使用任何單位嗎？可以——計算結果只是把你輸入的邊長單位平方而已。