ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تعمل هذه الأداة بالاتجاه العكسي انطلاقًا من مساحة معلومة. فإذا عرفت مساحة المضلع المنتظم \(S\) (وهو المضلع المتساوي الأضلاع والزوايا) وعدد أضلاعه \(n\)، تُرجِع لك طول الضلع الواحد \(a\) والمحيط الكلي \(L\). وهي المعادلة العكسية لصيغة «المساحة من الضلع» المعروفة، ومفيدة في التصميم وتبليط الأسطح وحل واجبات الهندسة وأعمال الرسم بالحاسوب (CAD) حين تعرف مقدار المساحة التي يجب أن يغطيها الشكل لكنك تحتاج إلى أبعاد حوافه.
شرح المعادلة
المضلع المنتظم الذي يضم \(n\) ضلعًا متساويًا طول كل منها \(a\) تكون مساحته $$S = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\pi/n)}.$$ وبحل هذه المعادلة لإيجاد \(a\) نحصل على $$a = \sqrt{\frac{4S \cdot \tan(\pi/n)}{n}},$$ أما المحيط فهو ببساطة $$L = n \cdot a.$$ والزاوية \(\pi/n\) محسوبة بالراديان (في البرمجة: Math.PI / n). وكلما زاد عدد الأضلاع \(n\) اقتربت قيمة \(\tan(\pi/n)\) من \(\pi/n\)، وأخذ المضلع يقترب شيئًا فشيئًا من دائرة لها المساحة نفسها.
طريقة الاستخدام
أدخل المساحة \(S\) بأي وحدات مربعة متسقة (سم²، م²، إنش²، أو من دون وحدة)، ثم أدخل عدد الأضلاع \(n\) (3 للمثلث المتساوي الأضلاع، و4 للمربع، و5 للخماسي، وهكذا). يظهر طول الضلع \(a\) بالوحدة الطولية الموافقة؛ فمساحة بوحدة سم² مثلًا تعطي ضلعًا بوحدة سم.
مثال محلول
لنأخذ مربعًا مساحته \(S = 100\) وعدد أضلاعه \(n = 4\). هنا \(\tan(\pi/4) = 1\)، إذن $$a = \sqrt{\frac{4 \cdot 100 \cdot 1}{4}} = \sqrt{100} = 10,$$ والمحيط $$L = 4 \cdot 10 = 40.$$ وهذا هو بالضبط مربع أبعاده 10 في 10 ومحيطه 40 — ما يؤكد صحة النتيجة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون عدد الأضلاع \(n\) ثلاثة على الأقل؟ لا يمكن لأقل من ثلاثة أضلاع أن تُحيط بمساحة، فلا يُعدّ الشكل مضلعًا. وعند \(n = 2\) تتباعد قيمة \(\tan(\pi/2)\) إلى ما لا نهاية.
ما الوحدات التي أحصل عليها؟ يشترك الضلع والمحيط في الوحدة الطولية المقابلة لوحدة المساحة المربعة. فإذا كانت \(S\) بوحدة م²، فإن \(a\) و\(L\) يكونان بوحدة م.
هل تفترض الحاسبة أن المضلع منتظم؟ نعم. يجب أن تتساوى جميع الأضلاع وجميع الزوايا. أما المضلعات غير المنتظمة فلا يمكن حلها انطلاقًا من المساحة وحدها.
