ما هو المعشّر؟
المعشّر هو مضلع له عشرة أضلاع وعشر زوايا. أما المعشّر المنتظم فهو الذي تتساوى فيه جميع الأضلاع طولًا وتتساوى فيه جميع الزوايا الداخلية (إذ تبلغ كل زاوية داخلية 144°). تحسب هذه الأداة مساحة المعشّر المنتظم مباشرةً انطلاقًا من قياس واحد فقط: طول أحد أضلاعه.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل طول أحد أضلاع المعشّر المنتظم (ع) بأي وحدة تختارها — سنتيمترات أو إنشات أو أمتار. ستظهر النتيجة بالوحدة المربعة المقابلة. كما تعرض الأداة محيط الشكل، وهو ببساطة عشرة أضعاف طول الضلع.
شرح الصيغة
تُعطى مساحة المعشّر المنتظم بالعلاقة التالية:
$$A = \frac{5}{2} \cdot \frac{\text{Side (s)}^{2}}{\tan\left(\frac{\pi}{10}\right)}$$
هنا تساوي \(\frac{\pi}{10}\) راديان قيمة 18°، ومقدار \(\tan(18°) \approx 0.32492\). وبما أنه يمكن تقسيم المعشّر إلى عشرة مثلثات متطابقة متساوية الساقين تلتقي عند المركز، فإن صيغة المساحة المعتمدة على العمود المنصِّف تتبسّط إلى هذا الشكل المغلق الأنيق. ويبلغ المعامل العددي \(\frac{5/2}{\tan(18°)} \approx 7.694\)، أي أن المساحة تساوي تقريبًا \(7.694 \cdot s^{2}\).
مثال محلول
لنفترض أن لدينا معشّرًا منتظمًا طول ضلعه 10 وحدات. عندئذٍ:
$$A = 7.694 \times 10^{2} = 7.694 \times 100 \approx 769.42 \text{ وحدة مربعة}$$ أما محيطه فهو \(10 \times 10 = 100\) وحدة.
الأسئلة الشائعة
ما هو معامل المساحة للمعشّر؟ يساوي تقريبًا 7.69420884. اضرب هذا المعامل في مربّع طول الضلع للحصول على المساحة.
هل تصلح هذه الصيغة للمعشّر غير المنتظم؟ لا. تفترض هذه الصيغة وجود معشّر منتظم متساوي الأضلاع والزوايا. أما الأشكال غير المنتظمة فيُجزّأ الشكل فيها إلى مثلثات.
ما الوحدات التي تستخدمها الحاسبة؟ أي وحدة تُدخلها لطول الضلع؛ وتظهر المساحة بمربّع تلك الوحدة نفسها.
