ما هو المُعشَّر؟
المُعشَّر هو مضلّع له عشرة أضلاع وعشر زوايا. أما المُعشَّر المنتظم فتتساوى فيه جميع الأضلاع في الطول، وتتساوى كذلك جميع زواياه الداخلية (قياس كلٍّ منها 144°). تتعامل هذه الحاسبة مع المُعشَّرات المنتظمة، وتحسب المساحة والمحيط ومسافة العمود (المسافة من المركز إلى منتصف أحد الأضلاع) ونصف القطر المحيط (المسافة من المركز إلى أحد الرؤوس) مباشرةً انطلاقًا من معطى واحد فقط: طول الضلع.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل طول الضلع s للمُعشَّر بأي وحدة تشاء (سنتيمتر، متر، بوصة… إلخ). تظهر النتائج بالوحدات نفسها — المساحة بالوحدات المربّعة، وبقية القيم بالوحدات الطولية. ما عليك سوى كتابة القيمة، وتتولّى الحاسبة كل الحسابات المثلّثية نيابةً عنك.
شرح القانون
تُعطى مساحة المُعشَّر المنتظم بالعلاقة:
$$A = \frac{5}{2}\cdot s^{2}\cdot \cot\!\left(\frac{\pi}{10}\right)$$
حيث \(\cot(\pi/10)\) هو ظل التمام للزاوية 18°، وقيمته نحو 3.077684. ويأتي المعامل \(5/2\) من تقسيم المُعشَّر إلى 10 مثلّثات متطابقة. أما المحيط فهو ببساطة \(P = 10s\) لأن للمُعشَّر عشرة أضلاع متساوية. ويساوي طول العمود \(s / (2\cdot\tan(\pi/10))\)، بينما يساوي نصف القطر المحيط \(s / (2\cdot\sin(\pi/10))\).
مثال محلول
لنفترض أن \(s = 10\). عندها تكون المساحة $$A = \frac{5}{2} \times 100 \times \cot(18°) = 250 \times 3.077684 \approx 769.42 \text{ وحدة مربّعة}$$ والمحيط $$P = 10 \times 10 = 100 \text{ وحدة}$$ وطول العمود \(= 10 / (2 \times \tan 18°) \approx 15.388\)، ونصف القطر المحيط \(= 10 / (2 \times \sin 18°) \approx 16.180\).
الأسئلة الشائعة
ما قياس الزوايا الداخلية للمُعشَّر؟ قياس كل زاوية داخلية في المُعشَّر المنتظم هو 144°، ومجموعها 1440°.
هل تصلح هذه الحاسبة للمُعشَّرات غير المنتظمة؟ لا. تفترض القوانين أن المُعشَّر منتظم بأضلاع وزوايا متساوية. أما الأشكال غير المنتظمة فتتطلّب طرقًا تعتمد على الإحداثيات.
ما الوحدات المستخدمة؟ الحاسبة لا ترتبط بوحدة بعينها. فالوحدة التي تُدخلها لطول الضلع هي التي تحدّد وحدات النتائج (ومربّعها بالنسبة للمساحة).
