ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تقسم هذه الأداة عددًا مركبًا على عدد مركب آخر. فعند إدخال البسط a + bi والمقام c + di، تُرجع خارج القسمة كعدد مركب واحد على الصورة a + bi، موزّعًا إلى جزء حقيقي وجزء تخيّلي.
طريقة الاستخدام
أدخل الجزأين الحقيقي والتخيّلي للبسط (a و b)، ثم الجزأين الحقيقي والتخيّلي للمقام (c و d). تقوم الحاسبة بضرب البسط والمقام في مرافق المقام، وهو ما يُزيل الجزء التخيّلي من المقام، ثم تعرض النتيجة في الحال.
شرح الصيغة
لقسمة الأعداد المركبة نضرب كلًا من البسط والمقام في مرافق المقام c − di:
$$\frac{a + b\,i}{c + d\,i} = \frac{(a + b\,i)(c - d\,i)}{(c + d\,i)(c - d\,i)} = \frac{a\,c + b\,d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b\,c - a\,d}{c^{2} + d^{2}}\,i$$يصبح المقام بذلك \(c^{2} + d^{2}\)، وهو عدد حقيقي، فينفصل الجزآن الحقيقي والتخيّلي بوضوح.
مثال محلول
لنقسم \((1 + 2i)\) على \((3 + 4i)\). هنا \(a=1\) و \(b=2\) و \(c=3\) و \(d=4\). المقام هو \(c^{2}+d^{2} = 9+16 = 25\). الجزء الحقيقي \(= \frac{a\,c+b\,d}{25} = \frac{3+8}{25} = \frac{11}{25} = 0.44\). الجزء التخيّلي \(= \frac{b\,c-a\,d}{25} = \frac{6-4}{25} = \frac{2}{25} = 0.08\). إذًا الناتج هو \(0.44 + 0.08i\).
الأسئلة الشائعة
ما هو مرافق c + di؟ إنه \(c - di\)، أي نفس الجزء الحقيقي مع عكس إشارة الجزء التخيّلي. والضرب فيه يجعل المقام عددًا حقيقيًا.
ماذا لو كان المقام صفرًا؟ القسمة على \(0 + 0i\) غير معرّفة؛ وفي هذه الحالة تُرجع الحاسبة جزأين صفريين، لذا تأكد من ألا يكون كل من c و d صفرًا في آنٍ واحد.
هل يمكن أن تكون النتيجة عددًا حقيقيًا بحتًا أو تخيّليًا بحتًا؟ نعم. فإذا كان \(b\,c - a\,d = 0\) تكون النتيجة حقيقية بحتة، وإذا كان \(a\,c + b\,d = 0\) تكون النتيجة تخيّلية بحتة.
