गणना दर्ज करें

परिणाम

भागफल (a + bi) / (c + di)

0.44 +0.08i

सम्मिश्र संख्या परिणाम

वास्तविक भाग	0.44
काल्पनिक भाग	0.08
हर (c² + d²)	25

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल एक सम्मिश्र संख्या को दूसरी से विभाजित करता है। जब आपके पास अंश (numerator) a + bi और हर (denominator) c + di हो, तो यह भागफल को एक ही सम्मिश्र संख्या के रूप में a + bi स्वरूप में देता है, जिसे वास्तविक (real) और काल्पनिक (imaginary) भागों में अलग-अलग दिखाया जाता है।

सम्मिश्र तल पर सदिशों के रूप में दिखाई गई दो सम्मिश्र संख्याएँ — सम्मिश्र संख्याएँ सम्मिश्र तल पर बिंदुओं और सदिशों के रूप में दर्शाई गई हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

अंश के वास्तविक और काल्पनिक भाग (a और b) तथा हर के वास्तविक और काल्पनिक भाग (c और d) दर्ज करें। कैलकुलेटर अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करता है, जिससे हर का काल्पनिक भाग समाप्त हो जाता है, और फिर तुरंत परिणाम दिखा देता है।

सूत्र को समझें

सम्मिश्र संख्याओं का भाग करने के लिए हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी c − di से गुणा करते हैं:

$$\frac{\text{a} + \text{b}\,i}{\text{c} + \text{d}\,i} = \frac{(\text{a} + \text{b}\,i)(\text{c} - \text{d}\,i)}{(\text{c} + \text{d}\,i)(\text{c} - \text{d}\,i)} = \frac{\text{a}\,\text{c} + \text{b}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}} + \frac{\text{b}\,\text{c} - \text{a}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}}\,i$$

इस तरह हर बन जाता है $\text{c}^{2} + \text{d}^{2}$, जो एक वास्तविक संख्या है, इसलिए परिणाम के वास्तविक और काल्पनिक भाग साफ-साफ अलग हो जाते हैं।

अंश और हर को सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करने का आरेख — अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करके भाग देना।

हल किया हुआ उदाहरण

$(1 + 2i)$ को $(3 + 4i)$ से विभाजित करें। यहाँ $a=1, b=2, c=3, d=4$ है। हर $= \text{c}^{2}+\text{d}^{2} = 9+16 = 25$. वास्तविक भाग $= \frac{\text{a}\text{c}+\text{b}\text{d}}{25} = \frac{3+8}{25} = \frac{11}{25} = 0.44$. काल्पनिक भाग $= \frac{\text{b}\text{c}-\text{a}\text{d}}{25} = \frac{6-4}{25} = \frac{2}{25} = 0.08$. इस प्रकार उत्तर है $0.44 + 0.08i$.

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)

c + di का संयुग्मी क्या होता है? यह c − di होता है — वास्तविक भाग वही रहता है, बस काल्पनिक भाग का चिह्न उलट जाता है। इससे गुणा करने पर हर एक वास्तविक संख्या बन जाता है।

अगर हर शून्य हो तो क्या होगा? 0 + 0i से भाग करना अपरिभाषित (undefined) होता है; ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर दोनों भाग शून्य लौटाता है, इसलिए ध्यान रखें कि c और d दोनों एक साथ शून्य न हों।

क्या परिणाम पूर्ण रूप से वास्तविक या पूर्ण रूप से काल्पनिक हो सकता है? हाँ। अगर $\text{b}\text{c} - \text{a}\text{d} = 0$ हो तो परिणाम पूरी तरह वास्तविक होगा, और अगर $\text{a}\text{c} + \text{b}\text{d} = 0$ हो तो परिणाम पूरी तरह काल्पनिक होगा।

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