Bu Araç Ne İşe Yarar?
Bu araç, bir karmaşık sayıyı başka bir karmaşık sayıya böler. Pay olarak a + bi ve payda olarak c + di verildiğinde, sonucu tek bir karmaşık sayı olarak a + bi biçiminde, reel ve sanal kısımlarına ayrılmış şekilde verir.
Nasıl Kullanılır?
Payın reel ve sanal kısımlarını (a ve b) ile paydanın reel ve sanal kısımlarını (c ve d) girin. Hesaplayıcı, hem payı hem de paydayı paydanın eşleniğiyle çarpar; böylece paydadaki sanal kısım yok olur ve sonuç anında karşınıza gelir.
Formülün Açıklaması
Karmaşık sayıları bölmek için pay ve paydayı, paydanın eşleniği olan c − di ile çarparız:
$$\frac{a + b\,i}{c + d\,i} = \frac{(a + b\,i)(c - d\,i)}{(c + d\,i)(c - d\,i)} = \frac{a\,c + b\,d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b\,c - a\,d}{c^{2} + d^{2}}\,i$$
Payda \(c^{2} + d^{2}\) değerine, yani bir reel sayıya dönüşür; bu sayede reel ve sanal kısımlar temiz bir şekilde birbirinden ayrılır.
Örnek Çözüm
\((1 + 2i)\) sayısını \((3 + 4i)\) sayısına bölelim. Burada \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\), \(d=4\). Payda \(c^{2}+d^{2} = 9+16 = 25\) olur. Reel kısım \(= \frac{a\,c+b\,d}{25} = \frac{3+8}{25} = \frac{11}{25} = 0{,}44\). Sanal kısım \(= \frac{b\,c-a\,d}{25} = \frac{6-4}{25} = \frac{2}{25} = 0{,}08\). Yani sonuç \(0{,}44 + 0{,}08i\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
c + di sayısının eşleniği nedir? Eşlenik \(c - d\,i\)'dir; yani reel kısım aynı kalır, sanal kısmın işareti değişir. Bu sayıyla çarpmak paydayı reel hâle getirir.
Payda sıfır olursa ne olur? \(0 + 0i\) ile bölme tanımsızdır; bu durumda hesaplayıcı kısımları sıfır olarak döndürür. Bu yüzden c ve d'nin aynı anda sıfır olmadığından emin olun.
Sonuç tamamen reel veya tamamen sanal olabilir mi? Evet. Eğer \(b\,c - a\,d = 0\) ise sonuç tamamen reeldir; eğer \(a\,c + b\,d = 0\) ise sonuç tamamen sanaldır.
