Bu dönüştürücü ne işe yarar?
Bu araç, kartezyen (dik koordinat olarak da bilinir) formda yazılmış bir karmaşık sayıyı, yani \(x + yi\) ifadesini, kutupsal forma yani \(r\,e^{i\theta}\) biçimine dönüştürür. Kutupsal form, aynı sayıyı orijinden olan uzaklığı (modül, \(r\)) ve pozitif reel eksenle yaptığı açı (argüman, \(\theta\)) ile ifade eder. Karmaşık sayılarda çarpma, bölme, kuvvet alma veya kök bulma işlemleri kutupsal formda, dik koordinatlardaki hesaplamalara kıyasla çok daha kolaydır.
Nasıl kullanılır?
3+4i, -2-5i, 4 (saf reel), 2i veya -i (saf sanal) gibi bir karmaşık sayı yazın. Boşluk kullanabilirsiniz; tek başına yazılan i veya -i, ±1 olarak okunur. Hesaplayıcı reel kısım \(x\) ile sanal kısım \(y\) değerlerini ayıklar, ardından modül \(r\) ve argüman \(\theta\) değerlerini radyan cinsinden, tam kutupsal ifadeyle birlikte size verir.
Formülün açıklaması
\(x + yi\) karmaşık sayısı için modül $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ şeklindedir; bu, orijinden \((x, y)\) noktasına olan doğrusal uzaklıktır. Argüman ise $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\,x)$$ olarak hesaplanır. Burada bilerek \(\arctan(y/x)\) yerine iki argümanlı \(\operatorname{atan2}\) fonksiyonunu kullanıyoruz: \(\operatorname{atan2}\) açıyı doğru bölgede (kadranda) verir ve \(x = 0\) durumunu sorunsuz şekilde ele alarak \((-\pi, \pi]\) aralığında bir asıl değer döndürür. Orijinde \((0, 0)\) ise kabul gören değer \(\theta = 0\)'dır.
Çözümlü örnek
3+4i sayısını ele alalım; burada \(x = 3\) ve \(y = 4\). Buna göre $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ olur. Argüman ise $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}927295218$$ radyandır (yaklaşık \(53{,}13°\)). Dolayısıyla kutupsal form \(5\,e^{0.927295218\,i}\) şeklindedir.
Sık sorulan sorular
Açı derece cinsinden mi yoksa radyan cinsinden mi? Argüman \(\theta\), radyan cinsinden verilir. Dereceye çevirmek için \(180/\pi\) ile çarpın.
Reel kısım negatif olursa ne olur? \(\operatorname{atan2}\) kullanıldığı için negatif reel kısımlı sayılar doğru biçimde ikinci veya üçüncü bölgeye düşer. Örneğin \(-2-5i\) için \(r = \sqrt{29} \approx 5{,}385164807\) ve \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1{,}951302704\) radyan olur.
Sıfırda ne olur? \(0 + 0i\) için modül \(0\)'dır ve argüman gelenek gereği \(0\) alınır; bu nedenle kutupsal form \(0\,e^{0\,i}\) olur.
