À quoi sert ce convertisseur
Cet outil transforme un nombre complexe écrit sous forme cartésienne (aussi appelée forme rectangulaire ou algébrique), \(x + yi\), en sa forme polaire \(r\,e^{i\theta}\). La forme polaire décrit le même nombre à l'aide de sa distance à l'origine (le module, \(r\)) et de l'angle qu'il forme avec l'axe des réels positifs (l'argument, \(\theta\)). Travailler en coordonnées polaires simplifie considérablement la multiplication, la division, ainsi que le calcul des puissances et des racines de nombres complexes, bien plus que les coordonnées rectangulaires.
Comment l'utiliser
Saisissez un nombre complexe tel que 3+4i, -2-5i, 4 (réel pur), 2i ou -i (imaginaire pur). Les espaces sont autorisés, et un simple i ou -i est interprété comme \(\pm 1\). Le calculateur isole la partie réelle \(x\) et la partie imaginaire \(y\), puis renvoie le module \(r\) et l'argument \(\theta\) en radians, accompagnés de l'expression polaire complète.
La formule expliquée
Pour un nombre complexe \(x + yi\), le module vaut \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\), c'est-à-dire la distance en ligne droite entre l'origine et le point \((x, y)\). L'argument est \(\theta = \operatorname{atan2}(y, x)\). Nous utilisons volontairement la fonction atan2 à deux arguments plutôt que \(\arctan(y/x)\) : atan2 renvoie l'angle dans le bon quadrant et gère sans difficulté le cas \(x = 0\), en fournissant une valeur principale dans l'intervalle \((-\pi, \pi]\). À l'origine \((0, 0)\), on adopte par convention \(\theta = 0\).
$$\begin{gathered} \text{Complex Number} = x + yi \;=\; r\,e^{i\theta} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \theta &= \operatorname{atan2}(y,\,x) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple résolu
Prenons 3+4i, soit \(x = 3\) et \(y = 4\). On obtient :
L'argument vaut \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}927295218\) radian (soit environ \(53{,}13°\)). La forme polaire est donc \(5\,e^{0{,}927295218\,i}\).
FAQ
L'angle est-il en degrés ou en radians ? L'argument \(\theta\) est exprimé en radians. Pour le convertir en degrés, multipliez-le par \(180/\pi\).
Et si la partie réelle est négative ? Grâce à atan2, les nombres à partie réelle négative se placent correctement dans le deuxième ou le troisième quadrant. Par exemple, \(-2-5i\) donne \(r = \sqrt{29} \approx 5{,}385164807\) et \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1{,}951302704\) radian.
Que se passe-t-il à zéro ? Pour \(0 + 0i\), le module vaut \(0\) et l'argument est conventionnellement fixé à \(0\) ; la forme polaire est donc \(0\,e^{0\,i}\).
