À quoi sert ce calculateur
Cet outil convertit un nombre complexe exprimé sous forme polaire — un module r (aussi appelé norme) et un angle θ (l'argument) — vers sa forme cartésienne ou rectangulaire \(x + yi\). La forme polaire s'écrit souvent \(r\cdot e^{\theta i}\) ou \(r\angle\theta\), et de nombreux problèmes d'ingénierie, de physique ou de traitement du signal nécessitent de revenir à la représentation familière \(x + yi\).
Comment l'utiliser
Saisissez le module r et l'angle θ. Indiquez si θ est exprimé en radians (l'option par défaut) ou en degrés. En interne, le calculateur convertit les degrés en radians en multipliant par \(\pi/180\), puis calcule les composantes réelle et imaginaire avant d'assembler la chaîne complète \(x + yi\).
La formule expliquée
Un point du plan complexe situé à la distance r de l'origine et faisant un angle θ avec l'axe réel positif a pour coordonnées :
$$x = r\cdot\cos\theta \quad \text{et} \quad y = r\cdot\sin\theta$$
Le nombre complexe vaut alors \(z = x + y\cdot i\). Les relations inverses (données à titre indicatif) sont \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) et \(\theta = \arctan(y / x)\), mais cet outil n'effectue que la conversion directe polaire → cartésien.
Exemple concret
Prenons \(r = 2\) et \(\theta = \pi/3\) en radians. On obtient $$x = 2\cdot\cos(\pi/3) = 2\cdot 0{,}5 = 1,$$ et $$y = 2\cdot\sin(\pi/3) = 2\cdot 0{,}8660254 = 1{,}7320508.$$ Le résultat est \(1 + 1{,}7320508076\,i\).
En degrés : \(r = 5\), \(\theta = 30°\). On convertit : \(30\cdot\pi/180 = 0{,}5235988\) rad. Puis \(x = 5\cdot\cos = 4{,}330127019\) et \(y = 5\cdot\sin = 2{,}5\), ce qui donne \(4{,}330127019 + 2{,}5\,i\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(r = 0\) ? Le résultat est 0 (l'origine), quel que soit l'angle, puisque x et y deviennent tous deux nuls.
r peut-il être négatif ? Oui. Un module négatif est valide et revient simplement à symétriser le point par rapport à l'origine, ce qui équivaut à ajouter \(\pi\) à l'angle.
Pourquoi dois-je choisir entre radians et degrés ? Les fonctions trigonométriques travaillent en radians. En sélectionnant « Degrés », votre angle est d'abord multiplié par \(\pi/180\) afin que le résultat soit exact.
