Qu'est-ce que le calculateur de combinaisons (nCr) ?
Ce calculateur détermine le nombre de combinaisons — noté nCr, C(n, r) ou « n parmi r » — c'est-à-dire le nombre de façons de choisir r éléments dans un ensemble de n éléments distincts sans tenir compte de l'ordre de sélection. Choisir {A, B} revient exactement à choisir {B, A} : il s'agit de la même combinaison. C'est le coefficient binomial, une notion fondamentale en combinatoire, en probabilités et en statistique.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre total d'éléments n et le nombre que vous souhaitez choisir r, puis lisez le résultat. Les deux valeurs doivent être des entiers positifs ou nuls, et r ne peut pas dépasser n (la page impose n ≥ r ≥ 0). Le calculateur s'appuie sur une arithmétique exacte en grands entiers : même les très grands résultats restent précis, sans aucun arrondi.
La formule expliquée
La définition classique est $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}.$$ Pour éviter de calculer d'énormes factorielles, cet outil utilise la forme multiplicative stable, en s'appuyant sur la propriété de symétrie \(C(n, r) = C(n, n - r)\) : on pose \(k = \min(r, n - r)\), on part de 1, puis on multiplie successivement par \((n - k + i)\) et on divise par \(i\) pour \(i\) allant de 1 à \(k\). Chaque division tombe juste, si bien que la valeur courante reste toujours un nombre entier.
Exemple concret
Combien de mains de 2 cartes peut-on tirer parmi 4 cartes ? $$C(4, 2) = \frac{4!}{2!\cdot 2!} = \frac{24}{4} = 6.$$ Un exemple de loto : choisir 6 numéros parmi 49 donne \(C(49, 6) = 13\,983\,816\) grilles différentes — d'où des chances de remporter le jackpot extrêmement faibles.
FAQ
Quelle est la différence entre combinaisons et arrangements (permutations) ? Les combinaisons ne tiennent pas compte de l'ordre, contrairement aux arrangements. On a \(nPr = nCr \cdot r!\), si bien que les arrangements sont toujours supérieurs (ou égaux) aux combinaisons pour les mêmes \(n\) et \(r\).
Que valent \(C(n, 0)\) et \(C(n, n)\) ? Les deux valent 1 : il existe une seule façon de ne rien choisir, et une seule façon de tout choisir.
r peut-il être plus grand que n ? Non. On ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe : \(C(n, r) = 0\) lorsque \(r > n\). Ce calculateur considère ce cas comme invalide et renvoie 0.
