¿Qué es la calculadora de combinaciones (nCr)?
Esta calculadora obtiene el número de combinaciones —que se escribe nCr, C(n, r) o "n sobre r"—, es decir, de cuántas formas puedes seleccionar r elementos a partir de un conjunto de n elementos distintos cuando el orden de selección no importa. Elegir {A, B} es la misma combinación que elegir {B, A}. Se trata del coeficiente binomial, una pieza clave de la combinatoria, la probabilidad y la estadística.
Cómo usarla
Introduce el número total de elementos n y cuántos quieres elegir r, y consulta el resultado. Ambos valores deben ser enteros no negativos, y r no puede ser mayor que n (la página exige que n ≥ r ≥ 0). La calculadora trabaja con aritmética exacta de enteros grandes, así que incluso los resultados enormes se mantienen precisos sin redondeos.
La fórmula explicada
La definición clásica es $$C(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ Para no tener que calcular factoriales gigantescos, esta herramienta emplea la forma multiplicativa estable junto con la regla de simetría \(C(\text{n}, \text{r}) = C(\text{n}, \text{n} - \text{r})\): se fija \(k = \min(\text{r}, \text{n} - \text{r})\), se parte de 1 y se multiplica de forma sucesiva por \((\text{n} - k + i)\) y se divide entre \(i\) para \(i = 1..k\). Cada división es exacta, de modo que el valor intermedio siempre es un número entero.
Ejemplo resuelto
¿Cuántas manos de 2 cartas puedes formar a partir de 4 cartas? $$C(4, 2) = \frac{4!}{2!\,\cdot\,2!} = \frac{24}{4} = 6$$ Un ejemplo de lotería: elegir 6 números entre 49 da \(C(49, 6) = 13.983.816\) boletos distintos, y por eso las probabilidades de acertar el bote son tan bajas.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencian las combinaciones de las permutaciones? Las combinaciones ignoran el orden; las permutaciones lo tienen en cuenta. \(\text{nPr} = \text{nCr} \cdot \text{r}!\), así que las permutaciones siempre son mayores (o iguales) para los mismos n y r.
¿Cuánto valen C(n, 0) o C(n, n)? Ambas valen 1: hay exactamente una forma de no elegir nada y una forma de elegirlo todo.
¿Puede r ser mayor que n? No. No puedes elegir más elementos de los que existen, por lo que \(C(\text{n}, \text{r}) = 0\) cuando \(\text{r} > \text{n}\); esta calculadora considera ese caso inválido y devuelve 0.
