¿Qué es la paradoja del cumpleaños?
La paradoja del cumpleaños (o problema del cumpleaños) plantea una pregunta engañosamente sencilla: en un grupo de n personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos coincidan en su fecha de cumpleaños? Lo sorprendente es que bastan 23 personas para que las probabilidades superen el 50 %, y con solo 70 personas la cifra rebasa el 99,9 %. Resulta paradójico porque, por instinto, cada uno se compara con su propio cumpleaños, cuando en realidad cada pareja posible dentro del grupo es una oportunidad de coincidencia.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el tamaño del grupo n (el número de personas) y obtendrás la probabilidad p(n) de que al menos una pareja comparta cumpleaños, expresada en porcentaje. La tabla de resultados también muestra la probabilidad complementaria de que todos los cumpleaños sean distintos. La calculadora supone un año de 365 días, con todos los días igual de probables, y no tiene en cuenta los nacimientos del 29 de febrero en los años bisiestos.
La fórmula explicada
Lo más cómodo es calcular primero la probabilidad de que nadie comparta cumpleaños y luego restarla de 1. La primera persona puede haber nacido cualquier día (365/365). La segunda debe evitar el día de la primera (364/365), la tercera debe evitar los dos anteriores (363/365), y así sucesivamente:
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$Entonces, la probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños es \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\). El producto se calcula de forma iterativa para evitar el desbordamiento de los factoriales.
Ejemplo resuelto
Para n = 23, al multiplicar las 23 fracciones se obtiene \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\), de modo que $$p(23) = 1 - 0{,}492703 \approx 0{,}5073$$ es decir, alrededor del 50,73 %: algo más que echarlo a cara o cruz. Para el valor por defecto n = 30, \(\bar{p}(30) \approx 0{,}293684\), lo que da \(p(30) \approx\) 70,63 %.
Preguntas frecuentes
¿Por qué funciona con tan pocas personas? Porque un grupo de 23 personas contiene 253 parejas posibles, y cada una de ellas es una nueva oportunidad de coincidencia.
¿Qué ocurre con 366 personas? Por el principio del palomar, con solo 365 días posibles la coincidencia de cumpleaños está garantizada, así que la probabilidad es exactamente del 100 %.
¿Tiene en cuenta los años bisiestos? No. Este modelo emplea 365 días igualmente probables y excluye el 29 de febrero, lo que mantiene impecable el resultado clásico.
