Nghịch lý ngày sinh là gì?
Nghịch lý ngày sinh (hay bài toán ngày sinh) đặt ra một câu hỏi tưởng chừng đơn giản: trong một nhóm gồm n người, xác suất để ít nhất hai người trùng ngày sinh nhật là bao nhiêu? Câu trả lời gây bất ngờ là chỉ cần 23 người thì khả năng này đã vượt quá 50%, và chỉ với 70 người thì xác suất đã trên 99,9%. Sở dĩ điều này nghe có vẻ nghịch lý là vì chúng ta thường theo bản năng so sánh với ngày sinh của chính mình, trong khi thực tế mỗi cặp người trong nhóm đều là một cơ hội để có sự trùng khớp.
Cách sử dụng máy tính
Nhập số người trong nhóm n rồi đọc kết quả xác suất p(n) — khả năng ít nhất một cặp trùng ngày sinh, hiển thị dưới dạng phần trăm. Bảng kết quả cũng cho biết xác suất bổ sung là tất cả ngày sinh đều khác nhau. Máy tính giả định một năm có 365 ngày, mọi ngày đều có khả năng như nhau và bỏ qua những người sinh ngày 29 tháng 2 của năm nhuận.
Giải thích công thức
Cách dễ nhất là tính xác suất để không ai trùng ngày sinh, sau đó lấy 1 trừ đi kết quả. Người đầu tiên có thể sinh vào bất kỳ ngày nào (365/365). Người thứ hai phải tránh ngày của người đầu (364/365), người thứ ba phải tránh ngày của hai người trước (363/365), và cứ thế tiếp tục:
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$Khi đó, xác suất có ít nhất một cặp trùng ngày sinh là \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\). Chúng ta tính tích này theo từng bước để tránh tình trạng tràn số khi dùng giai thừa.
Ví dụ minh họa
Với \(n = 23\), nhân 23 phân số lại ta được \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\), nên
$$p(23) = 1 - 0{,}492703 \approx 0{,}5073$$tức khoảng 50,73% — nhỉnh hơn một chút so với tỉ lệ tung đồng xu. Với giá trị mặc định \(n = 30\), ta có \(\bar{p}(30) \approx 0{,}293684\), cho ra \(p(30) \approx\) 70,63%.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao chỉ cần ít người mà vẫn đúng? Bởi vì một nhóm 23 người chứa tới 253 cặp khác nhau, và mỗi cặp lại là một cơ hội mới để trùng ngày sinh.
Khi nhóm có 366 người thì sao? Theo nguyên lý chuồng bồ câu (pigeonhole), với chỉ 365 ngày khả dĩ thì chắc chắn phải có ít nhất một cặp trùng ngày sinh, do đó xác suất đúng bằng 100%.
Có tính đến năm nhuận không? Không. Mô hình này dùng 365 ngày có khả năng như nhau và loại trừ ngày 29 tháng 2, giúp giữ cho kết quả kinh điển được gọn gàng và rõ ràng.
