什麼是生日悖論？
生日悖論（又稱生日問題）提出了一個看似簡單的問題：在一群 \(n\) 個人之中，至少有兩個人同一天生日的機率是多少？令人意外的答案是——只要 23 個人，這個機率就會超過 50%；而只要 70 個人，機率更會飆破 99.9%。之所以讓人覺得不可思議，是因為大家直覺上都拿「自己的生日」去和別人比，但事實上，群體裡的每一對組合都是一次配對成功的機會。
如何使用這個計算器
輸入群體人數 n（總共幾個人），就能讀取至少有一對人同一天生日的機率 \(p(n)\)，以百分比顯示。結果表格也會列出互補機率，也就是所有人生日都不同的機率。本計算器假設一年為 365 天、每一天的機率都相等，並且不計入閏年 2 月 29 日出生的情況。
公式解析
最簡單的算法，是先計算「沒有任何人同一天生日」的機率，再用 1 去減。第一個人的生日可以是任何一天（365/365）；第二個人必須避開第一個人（364/365）；第三個人要避開前兩個人（363/365），以此類推：
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$接著，至少有一對人同一天生日的機率就是
$$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$我們以逐步連乘的方式計算這個乘積，以避免階乘運算造成數值溢位。
實例演算
以 \(n = 23\) 為例，將這 23 個分數相乘可得 \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\)，因此 \(p(23) = 1 - 0.492703 \approx 0.5073\)，約為 50.73%——剛好比擲硬幣的機率高一點。若以預設的 \(n = 30\) 來算，\(\bar{p}(30) \approx 0.293684\)，得出 \(p(30) \approx\) 70.63%。
常見問題
為什麼這麼少人就能成立？因為 23 個人總共可以組成 253 種不同的配對，而每一種配對都是一次全新的「撞生日」機會。
當人數達到 366 人會怎樣？根據鴿籠原理（抽屜原理），一年只有 365 天，所以一定會有兩個人同一天生日，機率剛好就是 100%。
有把閏年算進去嗎？沒有。本模型採用 365 天、每天機率相等，並排除 2 月 29 日，這樣才能維持經典結果的簡潔與準確。
