Doğum Günü Paradoksu Olasılık Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Grup büyüklüğü n (kişi)

Sonuç

Ortak doğum günü olasılığı p(n)

70,6316%

in a group of 30 people

Probability all birthdays differ p̄(n)	29,3684%
Grup büyüklüğü n	30 people
Varsayım	365 gün, hepsi eşit olasılıkta, artık yıl yok

Doğum Günü Paradoksu Nedir?

Doğum günü paradoksu (ya da doğum günü problemi) ilk bakışta çok basit görünen bir soru sorar: n kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığı nedir? Şaşırtıcı cevap şudur ki, olasılığın %50'yi aşması için yalnızca 23 kişi yeterlidir; 70 kişide ise olasılık %99,9'un üzerine çıkar. Bunun paradoks gibi gelmesinin nedeni, insanların içgüdüsel olarak kendi doğum günlerini kıyaslamasıdır; oysa gerçekte gruptaki her çift bir eşleşme şansıdır.

Ortak doğum günü olasılığı hızla yükselir ve sadece 23 kişide %50'yi geçer.

Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

Grup büyüklüğü n değerini (kişi sayısı) girin ve en az bir çiftin aynı doğum gününü paylaşma olasılığı \(p(n)\)'i yüzde olarak görün. Sonuç tablosu ayrıca tüm doğum günlerinin farklı olması olasılığını da gösterir. Hesaplayıcı, 365 günlük bir yıl varsayar; her günü eşit olasılıkta kabul eder ve artık yıldaki 29 Şubat doğumlarını dikkate almaz.

Formülün Açıklaması

En kolay yol, önce hiç kimsenin doğum gününü paylaşmama olasılığını hesaplayıp bunu 1'den çıkarmaktır. İlk kişinin doğum günü herhangi bir gün olabilir (365/365). İkinci kişi birinciden kaçınmalıdır (364/365), üçüncü kişi ilk ikisinden kaçınmalıdır (363/365) ve bu böyle devam eder:

$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$

Bu durumda en az bir ortak doğum günü olma olasılığı \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\) olur. Faktöriyel taşmasını önlemek için çarpımı adım adım hesaplarız.

Reklam

Formül, herkesin farklı doğum günü olma olasılığını hesaplar ve sonra 1'den çıkarır.

Çözümlü Örnek

\(n = 23\) için 23 kesri çarptığımızda \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\) elde ederiz; buradan $$p(23) = 1 - 0{,}492703 \approx 0{,}5073$$ yani yaklaşık %50,73 — az farkla yazı-tura atmaktan daha yüksek. Varsayılan \(n = 30\) için ise \(\bar{p}(30) \approx 0{,}293684\) olur ve \(p(30) \approx\) %70,63 çıkar.

Sıkça Sorulan Sorular

Neden bu kadar az kişiyle işe yarıyor? Çünkü 23 kişilik bir grup 253 olası çift içerir ve her çift yeni bir eşleşme fırsatıdır.

366 kişide ne olur? Güvercin yuvası ilkesine göre, yalnızca 365 olası gün varken ortak bir doğum günü kaçınılmazdır; dolayısıyla olasılık tam olarak %100'dür.

Artık yılları hesaba katıyor mu? Hayır. Bu model eşit olasılıklı 365 gün kullanır ve 29 Şubat'ı dışarıda bırakır; bu da klasik sonucu sade tutar.