誕生日のパラドックスとは？
誕生日のパラドックス（誕生日問題）は、一見シンプルな問いから始まります。「n人のグループの中で、少なくとも2人の誕生日が同じになる確率はどのくらい？」というものです。意外なことに、その確率が50%を超えるのに必要な人数はわずか23人。さらに70人もいれば確率は99.9%を上回ります。「パラドックス（直感に反する）」と呼ばれるのは、多くの人が無意識に自分自身の誕生日と他人を比べてしまうからです。実際には、グループ内のすべてのペアそれぞれに一致のチャンスがあるため、確率は思っているよりずっと高くなります。
この計算機の使い方
グループの人数nを入力すると、少なくとも1組の誕生日が一致する確率 \(p(n)\) がパーセントで表示されます。結果の表には、全員の誕生日がすべて異なる場合の確率（余事象）も併せて表示されます。なお、この計算では1年を365日とし、各日が等しい確率で起こると仮定しています。うるう年の2月29日生まれは考慮していません。
計算式の解説
もっとも計算しやすいのは、まず「誰も誕生日が一致しない確率」を求め、それを1から引く方法です。1人目はどの誕生日でも構いません（\(365/365\)）。2人目は1人目と被ってはいけないので\(364/365\)、3人目は先の2人と被らないので\(363/365\)……というように続きます。
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$
そして、少なくとも1組が一致する確率は $$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$ で求められます。この計算機では、階乗のオーバーフローを避けるために積を逐次的に計算しています。
計算例
\(n = 23\) のとき、23個の分数を掛け合わせると \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\) となるので、\(p(23) = 1 - 0.492703 \approx 0.5073\)、すなわち約50.73%。コインの裏表よりわずかに高い確率です。初期値の \(n = 30\) では \(\bar{p}(30) \approx 0.293684\) となり、\(p(30) \approx\) 70.63% になります。
よくある質問
なぜこんなに少ない人数で成立するの？ 23人のグループには253通りのペアが存在し、その1組1組すべてが一致のチャンスになるからです。
366人になるとどうなる？ 鳩の巣原理により、誕生日は365通りしかないため、366人いれば必ずどこかで一致します。したがって確率はちょうど100%です。
うるう年は考慮している？ いいえ。このモデルは365日が等確率で起こると仮定し、2月29日は除外しています。これにより、古典的な結果をシンプルに保っています。
