Что такое парадокс дней рождения?
Парадокс дней рождения (или задача о днях рождения) ставит на первый взгляд простой вопрос: какова вероятность того, что в группе из n человек хотя бы у двоих совпадут дни рождения? Удивительно, но достаточно всего 23 человек, чтобы шансы превысили 50%, а при 70 людях вероятность переваливает за 99,9%. Это кажется парадоксальным, потому что интуитивно мы сравниваем других со своим собственным днём рождения, тогда как на самом деле совпадение может дать любая пара в группе.
Как пользоваться калькулятором
Введите размер группы n (количество людей) и посмотрите вероятность p(n) того, что хотя бы у одной пары совпадут дни рождения — она показана в процентах. В таблице результатов также приводится дополнительная вероятность того, что все дни рождения разные. Калькулятор исходит из года в 365 дней, где каждый день равновероятен, и не учитывает рождённых 29 февраля в високосный год.
Разбор формулы
Проще всего сначала вычислить вероятность того, что ни у кого дни рождения не совпадают, а затем вычесть результат из единицы. У первого человека день рождения может быть любым (365/365). Второй должен не совпасть с первым (364/365), третий — с первыми двумя (363/365), и так далее:
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$
Тогда вероятность хотя бы одного совпадения равна \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\). Произведение мы вычисляем итеративно, чтобы избежать переполнения при работе с факториалами.
Пример расчёта
При \(n = 23\) перемножение 23 дробей даёт \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\), поэтому $$p(23) = 1 - 0{,}492703 \approx 0{,}5073$$ то есть около 50,73% — чуть больше, чем при подбрасывании монеты. Для значения по умолчанию \(n = 30\) получаем \(\bar{p}(30) \approx 0{,}293684\), а значит \(p(30) \approx\) 70,63%.
Частые вопросы
Почему это работает при таком небольшом числе людей? Потому что в группе из 23 человек насчитывается 253 возможные пары, и каждая пара — это новый шанс на совпадение.
Что произойдёт при 366 людях? По принципу Дирихле (принципу ящиков): поскольку возможных дней всего 365, совпадение неизбежно, и вероятность составляет ровно 100%.
Учитываются ли високосные годы? Нет. В этой модели используются 365 равновероятных дней без 29 февраля — это сохраняет классический результат в чистом виде.
