حاسبة احتمال مفارقة عيد الميلاد

أدخل الحساب

حجم المجموعة n (عدد الأشخاص)

نتائج

احتمال تطابق تاريخ الميلاد p(n)

٧٠٫٦٣١٦%

in a group of ٣٠ people

Probability all birthdays differ p̄(n)	٢٩٫٣٦٨٤%
حجم المجموعة n	٣٠ people
الافتراض	365 يومًا متساوية الاحتمال، دون احتساب السنوات الكبيسة

ما هي مفارقة عيد الميلاد؟

تطرح مفارقة عيد الميلاد (أو مسألة عيد الميلاد) سؤالًا يبدو بسيطًا للوهلة الأولى: في مجموعة مكوّنة من n شخصًا، ما احتمال أن يتشارك اثنان منهم على الأقل في تاريخ الميلاد نفسه؟ والمفاجئ أنك لا تحتاج سوى 23 شخصًا حتى تتجاوز الاحتمالية نسبة 50%، وأن 70 شخصًا فقط يكفون لرفع الاحتمال إلى ما يفوق 99.9%. تبدو النتيجة محيّرة لأن الناس يميلون غريزيًا إلى المقارنة بتاريخ ميلادهم هم، بينما الحقيقة أن كل زوج من الأشخاص في المجموعة يمثّل فرصة جديدة للتطابق.

ترتفع احتمالية تطابق عيد الميلاد بسرعة، متجاوزةً 50% عند 23 شخصًا فقط.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل حجم المجموعة n (عدد الأشخاص)، واطّلع على الاحتمال \(p(n)\) بأن يتشارك زوج واحد على الأقل في تاريخ الميلاد، معروضًا كنسبة مئوية. كما يوضّح جدول النتائج الاحتمال المكمّل بأن تكون جميع تواريخ الميلاد مختلفة. تفترض الحاسبة سنة من 365 يومًا تتساوى فيها احتمالية كل يوم، وتتجاهل ولادات 29 فبراير في السنوات الكبيسة.

شرح المعادلة

من الأسهل أن نحسب أولًا احتمال ألّا يتشارك أي شخص في تاريخ الميلاد، ثم نطرح الناتج من 1. فالشخص الأول يمكن أن يكون تاريخ ميلاده أي يوم (\(365/365\))، والثاني يجب أن يتجنّب يوم الأول (\(364/365\))، والثالث يجب أن يتجنّب اليومين الأولين (\(363/365\))، وهكذا:

$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$

وعندئذٍ يكون احتمال وجود تطابق واحد على الأقل في تواريخ الميلاد هو \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\). ونحسب الحاصل بشكل تكراري لتفادي تجاوز قيم المضروب (Factorial overflow).

اعلان

تحسب المعادلة احتمال أن يكون لكل شخص عيد ميلاد مختلف، ثم تطرحها من 1.

مثال محلول

عند \(n = 23\)، يعطينا ضرب الكسور الثلاثة والعشرين \(\bar{p}(23) \approx 0.492703\)، ومن ثَمّ \(p(23) = 1 - 0.492703 \approx 0.5073\)، أي نحو 50.73% — أعلى بقليل من احتمال رمي قطعة نقود. وبالنسبة للقيمة الافتراضية \(n = 30\)، فإن \(\bar{p}(30) \approx 0.293684\)، ما يعطي \(p(30) \approx\) 70.63%.

الأسئلة الشائعة

لماذا تتحقق النتيجة مع هذا العدد القليل من الأشخاص؟ لأن مجموعة من 23 شخصًا تتضمّن 253 زوجًا محتملًا، وكل زوج منها يمثّل فرصة جديدة للتطابق.

ماذا يحدث عند 366 شخصًا؟ وفقًا لمبدأ حجيرات الحمام (Pigeonhole)، ومع وجود 365 يومًا ممكنًا فقط، يصبح تطابق تاريخ ميلادٍ ما أمرًا مؤكدًا، ومن ثَمّ يكون الاحتمال 100% بالضبط.

هل تأخذ الحاسبة السنوات الكبيسة في الحسبان؟ لا. يعتمد هذا النموذج على 365 يومًا متساوية الاحتمال ويستبعد 29 فبراير، وهو ما يُبقي النتيجة الكلاسيكية واضحة وبسيطة.