Qu'est-ce que le paradoxe des anniversaires ?
Le paradoxe des anniversaires (ou problème des anniversaires) pose une question d'apparence anodine : dans un groupe de n personnes, quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre elles soient nées le même jour ? La réponse est étonnante : il suffit de 23 personnes pour que les chances dépassent 50 %, et seulement 70 personnes pour franchir la barre des 99,9 %. Le résultat semble paradoxal car, instinctivement, on compare les autres à son propre anniversaire, alors qu'en réalité chaque paire du groupe constitue une occasion de coïncidence.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la taille du groupe n (le nombre de personnes) et lisez la probabilité p(n), exprimée en pourcentage, qu'au moins une paire partage le même anniversaire. Le tableau de résultats affiche également la probabilité complémentaire que tous les anniversaires soient différents. Le calculateur part de l'hypothèse d'une année de 365 jours où chaque jour est aussi probable, et ignore les naissances du 29 février des années bissextiles.
La formule expliquée
Le plus simple est de calculer d'abord la probabilité que personne ne partage son anniversaire, puis de la soustraire à 1. La première personne peut être née n'importe quel jour (365/365). La deuxième doit éviter le jour de la première (364/365), la troisième doit éviter ceux des deux premières (363/365), et ainsi de suite :
$$\bar{p}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}$$
La probabilité d'au moins un anniversaire commun est alors $$p(n) = 1 - \bar{p}(n).$$ Nous calculons le produit de manière itérative afin d'éviter tout dépassement lié aux factorielles.
Exemple concret
Pour \(n = 23\), le produit des 23 fractions donne \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\), soit $$p(23) = 1 - 0{,}492703 \approx 0{,}5073,$$ c'est-à-dire environ 50,73 % — un peu plus qu'à pile ou face. Avec la valeur par défaut \(n = 30\), \(\bar{p}(30) \approx 0{,}293684\), ce qui donne \(p(30) \approx\) 70,63 %.
FAQ
Pourquoi cela fonctionne-t-il avec si peu de personnes ? Parce qu'un groupe de 23 personnes contient 253 paires possibles, et chaque paire représente une nouvelle occasion de coïncidence.
Que se passe-t-il avec 366 personnes ? D'après le principe des tiroirs, avec seulement 365 jours possibles, un anniversaire commun est garanti : la probabilité atteint donc exactement 100 %.
Les années bissextiles sont-elles prises en compte ? Non. Ce modèle utilise 365 jours équiprobables et exclut le 29 février, ce qui permet de conserver la pureté du résultat classique.
