AND 機率計算機 — P(A 且 B) 同時發生機率

P(A)	0.5
P(B) / P(B\|A)	0.5
P(A 且 B)	0.25

什麼是 AND 機率？

AND 機率寫作 $P(A \text{ 且 } B)$ 或 $P(A \cap B)$，指的是兩個事件「同時發生」的機率。它能回答像是「我擲出 6 點而且又擲出正面的機率有多少？」這類問題。任何機率值都介於 0（不可能）到 1（必然）之間，因此兩事件同時發生的聯合機率，永遠不會大於其中任何一個單一事件的機率。

兩個重疊圓的范氏圖，交集區域以高亮標示 — $P(A \text{ 且 } B)$ 對應於事件 A 和 B 重疊的交集部分。

計算機怎麼用

首先判斷你的兩個事件是「獨立」還是「相依」。若為獨立事件，請輸入 $P(A)$ 與 $P(B)$；若為相依事件，請輸入 $P(A)$ 以及條件機率 $P(B \mid A)$，也就是「在 A 已經發生的前提下，B 發生的機率」。計算機會將兩個數值相乘，並同時以小數與百分比顯示結果。

公式說明

對於獨立事件，乘法法則為 $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ 對於相依事件，由於一個事件的結果會改變另一個事件的機率，因此改用一般乘法法則 $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$$ 就數學運算而言，兩者其實完全相同——你只是把 $P(B)$ 換成 $P(B \mid A)$ 而已——這也是為什麼本工具在兩種模式下都只是把你輸入的兩個數值相乘。

機率樹，展示在獨立與相依兩種情況下事件 A 分支到事件 B — 機率樹：沿著從 A 到 B 的分支相乘即可得到 $P(A \text{ 且 } B)$。

實際範例

假設下雨的機率為 $P(A) = 0.4$，而公車誤點的機率（與下雨互相獨立）為 $P(B) = 0.25$，那麼兩件事同時發生的機率就是 $$0.4 \times 0.25 = 0.10$$ 也就是 10%。但如果這兩件事其實是相依的——下雨會讓公車誤點的機率上升到 $P(B \mid A) = 0.6$——那麼 $$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$$ 也就是 24% 的機率。

獨立與依賴：情景比較

兩個事件同時發生的概率，記為 $P(A \cap B)$，取決於這些事件是否為獨立（一個不影響另一個）或依賴（A的結果改變B的概率）。對於獨立事件，您將 $P(A) \times P(B)$ 相乘；對於依賴事件，您將 $P(A) \times P(B \mid A)$ 相乘，其中 $P(B \mid A)$ 是給定A已發生時B的條件概率。

P(A)	P(B) 或 P(B\\|A)	類型	P(A 且 B)	註解
0.5	0.5	獨立	0.25	兩枚公正硬幣都是正面
0.5	0.8	依賴	0.40	P(B\\|A) 更高，因為A使B更有可能發生
0.1667	0.1667	獨立	0.0278	公正骰子上擲出兩個六點 (1/36)
0.25	0.20	依賴	0.05	連續抽取兩張特定卡牌
0.6	0.0	互斥	0.0	事件不能同時發生，所以 P(A 且 B)=0
1.0	0.3	獨立	0.30	A 必然發生，所以結果等於 P(B)

注意 $P(A \cap B)$ 總是小於或等於兩個概率中較小的那個。對於互斥事件，兩者不能同時發生，所以 $P(A \cap B) = 0$。對於密切相關的事件，您可能還想要反向方向，$P(A \mid B)$，條件概率計算器可以從 $P(A \cap B)$ 和 $P(B)$ 得出。

如何手動計算 P(A 且 B)

對任何一對事件使用這些步驟。唯一改變算術的決定是事件是獨立還是依賴。

決定事件是獨立還是依賴。 獨立意味著知道A發生對B沒有影響（例如兩次硬幣擲出）。依賴意味著A改變B的概率（例如不放回抽取卡牌）。
寫下 $P(A)$。 將其表示為0到1之間的小數。例如，一枚公正硬幣給出 $P(A) = 0.5$。
寫下第二個概率。 對於獨立事件使用 $P(B)$。對於依賴事件使用條件概率 $P(B \mid A)$ — A發生之後 B的概率。
將兩個值相乘。 $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \quad \text{或} \quad P(A) \times P(B \mid A)$$ 對於兩枚公正硬幣：$0.5 \times 0.5 = 0.25$。
將小數轉換為百分比，乘以100。這裡 $0.25 \times 100 = 25\%$。

合理性檢查：答案必須不大於任何一個輸入，因為要求兩個事件都發生只會使結果變得更少見（或同樣可能）。如果您的結果超過 $P(A)$ 或 $P(B)$，您犯了一個算術錯誤。一個快速的計算示例：抽取一張紅牌然後黑桃說明了依賴情況，而兩個獨立骰子各顯示六點給出 $0.1667 \times 0.1667 = 0.0278$，與骰子概率計算器中的1對36機會相符。