¿Qué es la Calculadora de Tabla de Combinaciones nCr?
Esta herramienta genera el coeficiente binomial nCr —el número de formas de elegir r elementos distintos de un conjunto de n elementos distintos cuando el orden no importa— para cada valor de r desde 0 hasta n. Solo tienes que introducir un valor de n y la calculadora produce una tabla de (n+1) filas junto con el total de la fila, que siempre es 2 elevado a n. Admite valores de n de hasta 300 gracias a la aritmética de precisión arbitraria, de modo que incluso coeficientes astronómicamente grandes como 300C150 (unos 89 dígitos) se calculan de forma exacta.
Cómo usarla
Introduce el número de elementos n (un entero no negativo, con un máximo de 300). Elige una precisión de visualización en cifras significativas si quieres acortar los números muy grandes del resultado; esto solo afecta a cómo se muestran los valores más grandes y nunca altera el cálculo subyacente. Pulsa calcular para ver la tabla completa de valores nCr y el total \(2^n\) de todas las filas.
La fórmula explicada
La fórmula de las combinaciones es
$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$Para evitar el desbordamiento de los factoriales, la calculadora emplea la recurrencia multiplicativa \(nC0 = 1\) y \(nCr = nC(r-1) \cdot (n - r + 1) / r\). Cada paso se mantiene exacto gracias a la aritmética de enteros grandes. Por simetría, \(nCr\) es igual a \(nC(n-r)\), y el total sobre todos los valores de r equivale al tamaño del conjunto potencia,
$$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^{n}$$
Ejemplo resuelto (n = 5)
5C0 = 1, 5C1 = 5, 5C2 = 10, 5C3 = 10, 5C4 = 5, 5C5 = 1. La suma de la fila es
$$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$$que coincide con \(2^5\). Como comprobación,
$$6C2 = \frac{6!}{2!\cdot 4!} = \frac{720}{2 \cdot 24} = 15$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué la tabla tiene n+1 filas? Porque r va de 0 a n, ambos incluidos, lo que da n+1 valores distintos de combinaciones.
¿Qué significa nC0? Significa no elegir nada: hay exactamente una manera de hacerlo, por lo que \(nC0 = 1\), y del mismo modo \(nCn = 1\).
¿Por qué se permiten hasta 50 cifras significativas? Los coeficientes grandes tienen muchos dígitos; la precisión doble estándar pierde exactitud a partir de unas 15-16 cifras, así que el selector de precisión de visualización te permite mostrar valores que parecen exactos sin truncamiento.
