Что такое калькулятор таблицы сочетаний nCr?
Этот инструмент строит таблицу биномиальных коэффициентов nCr — числа способов выбрать r различных элементов из множества в n различных элементов, когда порядок не важен, — для каждого значения r от 0 до n. Введите одно значение n, и калькулятор выдаст таблицу из (n+1) строк вместе с суммой всех значений, которая всегда равна 2 в степени n. Поддерживается n вплоть до 300 благодаря арифметике произвольной точности, поэтому даже астрономически большие коэффициенты, такие как 300C150 (около 89 цифр), вычисляются абсолютно точно.
Как пользоваться
Введите число элементов n — это неотрицательное целое число, не превышающее 300. При желании выберите точность отображения в значащих цифрах, чтобы сократить очень большие числа в результате; этот параметр влияет только на то, как показываются крупные значения, и никогда не меняет сами вычисления. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть полную таблицу значений nCr и итоговую сумму строк \(2^n\).
Разбор формулы
Формула сочетаний выглядит так: $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ Чтобы избежать переполнения при вычислении факториалов, калькулятор использует мультипликативную рекуррентную формулу: \(\binom{n}{0} = 1\) и \(\binom{n}{r} = \binom{n}{r-1} \cdot \frac{n - r + 1}{r}\). На каждом шаге результат остаётся точным благодаря работе с большими целыми числами. В силу симметрии \(\binom{n}{r}\) равно \(\binom{n}{n-r}\), а сумма по всем r равна размеру множества всех подмножеств, то есть $$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^{n}.$$
Пример вычисления (n = 5)
\(\binom{5}{0} = 1\), \(\binom{5}{1} = 5\), \(\binom{5}{2} = 10\), \(\binom{5}{3} = 10\), \(\binom{5}{4} = 5\), \(\binom{5}{5} = 1\). Сумма строки: $$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5.$$ Для проверки: $$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\,4!} = \frac{720}{2 \cdot 24} = 15.$$
Частые вопросы
Почему в таблице n+1 строк? Потому что r пробегает значения от 0 до n включительно, давая n+1 различных значений сочетаний.
Что означает nC0? Это выбор «ничего» — сделать это можно ровно одним способом, поэтому \(\binom{n}{0} = 1\), и точно так же \(\binom{n}{n} = 1\).
Зачем нужна точность до 50 значащих цифр? Большие коэффициенты содержат множество цифр; стандартная точность double теряет точность примерно после 15–16 знаков, поэтому выбор точности отображения позволяет показывать точные значения без обрезания.
