조합 nCr 표 계산기란?
이 계산기는 이항계수 nCr, 즉 서로 다른 n개의 항목 중에서 순서를 따지지 않고 r개를 고르는 경우의 수를 r = 0부터 n까지 모든 값에 대해 표로 정리해 줍니다. n 값 하나만 입력하면 (n+1)개의 행으로 이루어진 표와 함께 행 합계를 보여 주며, 이 합계는 항상 2의 n제곱입니다. 임의 정밀도 연산을 사용해 n을 최대 300까지 지원하므로, 300C150(약 89자리)처럼 천문학적으로 큰 계수도 오차 없이 정확하게 계산합니다.
사용 방법
항목 수 n(0 이상의 정수, 최대 300)을 입력하세요. 결과에 나오는 아주 큰 수를 짧게 줄여 보고 싶다면 표시 정밀도(유효숫자)를 선택할 수 있습니다. 이 설정은 큰 값을 화면에 어떻게 표시할지에만 영향을 줄 뿐, 실제 계산 결과는 절대 바뀌지 않습니다. 계산하기 버튼을 누르면 nCr 값 전체 표와 모든 행을 더한 \(2^n\) 합계가 표시됩니다.
공식 풀이
조합 공식은 다음과 같습니다.
$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$팩토리얼이 지나치게 커지는 것을 막기 위해 이 계산기는 곱셈 점화식을 사용합니다. \(\binom{n}{0} = 1\)에서 출발해 \(\binom{n}{r} = \binom{n}{r-1} \times \dfrac{n - r + 1}{r}\) 로 이어 가며, 각 단계가 큰 정수 연산으로 정확하게 유지됩니다. 대칭성에 따라 \(\binom{n}{r}\)은 \(\binom{n}{n-r}\)과 같고, 모든 r에 대한 합계는 멱집합의 크기인 \(2^n\)과 같습니다.
$$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^{n}$$
계산 예시 (n = 5)
\(\binom{5}{0} = 1\), \(\binom{5}{1} = 5\), \(\binom{5}{2} = 10\), \(\binom{5}{3} = 10\), \(\binom{5}{4} = 5\), \(\binom{5}{5} = 1\) 입니다. 행 합계는 다음과 같으며, 이는 \(2^5\)과 같습니다.
$$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$$확인 삼아 계산해 보면 다음과 같습니다.
$$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = 15$$
자주 묻는 질문
왜 표에 n+1개의 행이 생기나요? r이 0부터 n까지 포함해서 움직이기 때문에, 서로 다른 조합 값이 n+1개 나옵니다.
nC0은 무슨 뜻인가요? 아무것도 고르지 않는 경우를 뜻합니다. 그렇게 하는 방법은 정확히 한 가지뿐이므로 \(\binom{n}{0} = 1\)이고, 같은 이유로 \(\binom{n}{n} = 1\)입니다.
왜 유효숫자를 50자리까지 허용하나요? 큰 계수는 자릿수가 매우 많습니다. 일반적인 배정밀도(double)는 약 15~16자리를 넘으면 정확도를 잃기 때문에, 표시 정밀도 선택 기능을 통해 잘림 없이 정확해 보이는 값을 보여 줄 수 있습니다.
