ما هي حاسبة جدول التوافيق nCr؟
تتيح لك هذه الأداة إعداد جدول كامل للمعامل الثنائي nCr — أي عدد الطرق المختلفة لاختيار r عنصراً من مجموعة مكوّنة من n عنصراً مميّزاً دون أن يهمّ الترتيب — لكل قيمة من قيم r ابتداءً من 0 وحتى n. كل ما عليك هو إدخال قيمة واحدة لـ \(n\)، فتولّد الحاسبة جدولاً يتألف من \((n+1)\) صفاً مع المجموع الكلي للصفوف الذي يساوي دائماً 2 مرفوعاً للأس n. وتدعم الأداة قيماً تصل إلى \(n = 300\) باستخدام حساب لا متناهي الدقة، بحيث تُحسب حتى المعاملات الهائلة مثل 300C150 (نحو 89 رقماً) بدقة تامة دون أي تقريب.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد العناصر \(n\) (عدد صحيح غير سالب، بحد أقصى 300). يمكنك اختيار دقة العرض بعدد الأرقام المعنوية إذا رغبت في اختصار الأعداد الكبيرة جداً في النتائج؛ ولا يؤثر هذا الخيار إلا في طريقة عرض القيم الضخمة، ولا يغيّر الحساب الأساسي إطلاقاً. اضغط على «احسب» لتظهر لك جداول قيم nCr كاملة مع المجموع الكلي \(2^n\) لجميع الصفوف.
شرح الصيغة الرياضية
صيغة التوافيق هي $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$ ولتفادي تضخّم المضروب (العاملي) إلى حد يصعب التعامل معه، تعتمد الحاسبة على العلاقة التكرارية الضربية: \(nC0 = 1\) ثم \(nCr = nC(r-1) \times (n - r + 1) / r\). وتبقى كل خطوة دقيقة تماماً بفضل حساب الأعداد الصحيحة الكبيرة. وبحكم التناظر فإن \(nCr\) يساوي \(nC(n-r)\)، كما أن مجموع جميع قيم r يساوي حجم مجموعة القوة، أي \(2^n\).
مثال محلول (n = 5)
\(5C0 = 1\)، و\(5C1 = 5\)، و\(5C2 = 10\)، و\(5C3 = 10\)، و\(5C4 = 5\)، و\(5C5 = 1\). ومجموع الصف هو $$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$$ وهو ما يساوي \(2^5\). وللتحقق: $$6C2 = \frac{6!}{2! \times 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = 15$$
الأسئلة الشائعة
لماذا يحتوي الجدول على n+1 صفاً؟ لأن قيمة r تتراوح من 0 إلى n شاملةً الطرفين، ما يعطي n+1 من قيم التوافيق المختلفة.
ماذا يعني nC0؟ يعني اختيار «لا شيء» — وهناك طريقة واحدة فقط للقيام بذلك، لذا فإن \(nC0 = 1\)، وبالمثل \(nCn = 1\).
لماذا يُسمح بدقة تصل إلى 50 رقماً معنوياً؟ لأن المعاملات الكبيرة تتألف من أرقام عديدة، والدقة المزدوجة المعيارية تفقد دقّتها بعد نحو 15 إلى 16 رقماً، لذا يتيح لك محدِّد دقة العرض إظهار قيم تبدو دقيقة تماماً دون أي اقتطاع.
