ما المقصود بالتوافيق مع التكرار؟
تحسب التوافيق مع التكرار عدد الطرق المختلفة لاختيار r عنصرًا من بين n نوعًا مميزًا، مع السماح باختيار النوع نفسه أكثر من مرة وتجاهل ترتيب الاختيار. يُرمز لهذه الكمية غالبًا بالرمز nHr، وتُعرف أيضًا باسم معامل المجموعة المتعددة (multiset coefficient). وهي تجيب عن أسئلة من نوع: «كم خيارًا مختلفًا أحصل عليه من 4 نكهات آيس كريم إذا أخذت كرتين وسمحت بتكرار النكهة نفسها؟»
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل عدد الأنواع المميزة n (يجب ألا يقل عن 1)، وعدد العناصر التي ترغب في اختيارها r (صفر أو أكثر). اضغط على زر الحساب، فتُظهر لك الأداة قيمة nHr، أي العدد الدقيق للمجموعات المتعددة المختلفة. كلا المدخلين عددان صحيحان غير سالبين فحسب، ولا توجد أي وحدات تحتاج إلى تحويل.
شرح المعادلة
المتطابقة الأساسية هي $$\overline{C}(n,r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r! \cdot (n - 1)!}$$ والفكرة الذكية وراءها: عند ترتيب \(r\) عنصرًا مختارًا مع \((n - 1)\) فاصلًا بين الأنواع، نحصل على \(n + r - 1\) موضعًا، ثم نختار مواضع العناصر (أو الفواصل). ولتجنب التعامل مع مضروبات ضخمة، تحسب هذه الأداة المعامل الثنائي عبر حلقة ضرب مستقرة، فتضرب في \((m - k + i)\) وتقسم على \(i\) لكل \(i\) من 1 إلى \(k\)، حيث \(m = n + r - 1\) و \(k = \min(r, n - 1)\).
مثال محلول
بالقيم الافتراضية \(n = 4\) و \(r = 2\) يكون: $$\overline{C}(n,r) = \binom{4 + 2 - 1}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ والتوافيق العشرة من الأنواع {a, b, c, d} هي: aa، ab، ac، ad، bb، bc، bd، cc، cd، dd.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا والتوافيق العادية؟ التوافيق العادية \(C(n, r)\) تمنع التكرار، فلا يُختار العنصر إلا مرة واحدة على الأكثر؛ أما هنا فالتكرار مسموح به، ما يعطي عددًا أكبر من الاحتمالات.
ماذا لو كان r = 0؟ يوجد توفيق واحد فقط، وهو الاختيار الفارغ، أي أن \(nHr = 1\).
ماذا لو كان n = 1؟ مع نوع واحد فقط، يجب اختياره \(r\) مرة، فلا توجد سوى مجموعة متعددة واحدة، أي أن \(nHr = 1\) مهما كانت قيمة \(r\).
