Tekrarlı Kombinasyon Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Farklı tür sayısı (n)

Seçilecek öğe sayısı (r)

Sonuç

Tekrarlı kombinasyon sayısı (nHr)

10

n türden r boyutlu çoklu küme sayısı

Farklı türler (n)	4
Seçilen öğeler (r)	2
Formül	C(n + r − 1, r)

Tekrarlı kombinasyon nedir?

Tekrarlı kombinasyon, n farklı türden r öğe seçerken aynı türü birden fazla kez alabildiğiniz ve seçim sırasının önemsiz olduğu durumdaki olası seçim sayısını verir. Bu değer çoğunlukla nHr şeklinde gösterilir ve "çoklu küme katsayısı" (multiset coefficient) olarak da bilinir. Şu tür soruların yanıtını bulur: "4 dondurma çeşidinden 2 top alırsam ve aynı çeşidi tekrar seçebiliyorsam, kaç farklı kombinasyon elde ederim?"

Combinations with repetition: choosing items from distinct types where the same type can be picked more than once and order does not matter.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Farklı tür sayısı n değerini (en az 1 olmalı) ve seçmek istediğiniz öğe sayısı r değerini (sıfır veya daha fazla) girin. Hesapla düğmesine tıkladığınızda araç, farklı çoklu kümelerin tam sayısı olan nHr değerini döndürür. Her iki giriş de yalnızca negatif olmayan tam sayılardır; dönüştürülecek herhangi bir birim yoktur.

Formülün açıklaması

Temel eşitlik şudur: $$\overline{C}(n,r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{\left(\text{Types }(n) + \text{Choose }(r) - 1\right)!}{\text{Choose }(r)!\,\left(\text{Types }(n) - 1\right)!}$$ İşin püf noktası: seçilen \(r\) öğeyi ve türleri ayıran \((n - 1)\) ayraç çubuğunu yan yana dizdiğimizde \(n + r - 1\) konum elde ederiz; öğelerin (ya da ayraçların) hangi konumlara geleceğini seçeriz. Devasa faktöriyellerden kaçınmak için bu araç, binom katsayısını kararlı bir çarpımsal döngüyle hesaplar: \(i = 1..k\) için her adımda \((m - k + i)\) ile çarpıp \(i\)'ye böler; burada \(m = n + r - 1\) ve \(k = \min(r, n - 1)\) olur.

Reklam

The stars and bars model: r identical items (stars) separated into n types by n-1 dividers (bars), giving C(n+r-1, r) arrangements.

Örnek çözüm

Varsayılan değerlerle \(n = 4\), \(r = 2\) için: $$nHr = C(4 + 2 - 1, 2) = C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ \(\{a, b, c, d\}\) türlerinden elde edilen on kombinasyon şunlardır: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd.

Sıkça sorulan sorular

Bu, sıradan kombinasyondan nasıl farklı? Sıradan kombinasyon \(C(n, r)\) tekrara izin vermez, yani her öğe en fazla bir kez seçilebilir; burada ise tekrara izin verildiği için sonuç daha büyük çıkar.

r = 0 olursa ne olur? Tam olarak bir kombinasyon vardır: boş seçim. Dolayısıyla \(nHr = 1\) olur.

n = 1 olursa ne olur? Tek bir tür olduğunda onu \(r\) kez seçmek zorundasınız; bu nedenle tek bir çoklu küme vardır ve herhangi bir \(r\) için \(nHr = 1\) olur.