पुनरावृत्ति के साथ संयोजन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

अलग-अलग प्रकारों की संख्या (n)

चुनी जाने वाली वस्तुओं की संख्या (r)

परिणाम

पुनरावृत्ति के साथ संयोजनों की संख्या (nHr)

10

n प्रकारों में से r आकार के मल्टीसेट

अलग-अलग प्रकार (n)	4
चुनी गई वस्तुएँ (r)	2
सूत्र	C(n + r − 1, r)

पुनरावृत्ति के साथ संयोजन क्या है?

पुनरावृत्ति के साथ संयोजन यह गिनते हैं कि n अलग-अलग प्रकारों में से r वस्तुएँ चुनने के कितने तरीके हैं, जब आप एक ही प्रकार को एक से अधिक बार चुन सकते हों और चुनने का क्रम मायने न रखता हो। इस संख्या को आमतौर पर nHr लिखा जाता है और इसे मल्टीसेट गुणांक (multiset coefficient) भी कहते हैं। यह ऐसे सवालों का जवाब देता है जैसे — "अगर आइसक्रीम के 4 फ्लेवर हों और मैं 2 स्कूप लूँ जिसमें दोहराव की छूट हो, तो कितने अलग-अलग कॉम्बिनेशन बन सकते हैं?"

Combinations with repetition: choosing items from distinct types where the same type can be picked more than once and order does not matter.

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अलग-अलग प्रकारों की संख्या n दर्ज करें (कम से कम 1 होनी चाहिए) और जितनी वस्तुएँ चुननी हैं उनकी संख्या r भरें (शून्य या उससे अधिक)। "गणना करें" पर क्लिक करते ही टूल आपको nHr यानी अलग-अलग मल्टीसेट की सटीक संख्या बता देगा। दोनों इनपुट सीधे-सादे ऋणरहित पूर्णांक (non-negative integers) हैं; इसमें किसी इकाई को बदलने की ज़रूरत नहीं।

सूत्र की व्याख्या

मूल पहचान है $$\overline{C}(n,r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r! \cdot (n - 1)!}$$। इसके पीछे की तरकीब समझिए: r चुनी हुई वस्तुओं और प्रकारों के बीच \((n - 1)\) विभाजक (dividers) को एक पंक्ति में रखने पर कुल \(n + r - 1\) स्थान बनते हैं, और हमें बस यह तय करना है कि वस्तुएँ (या विभाजक) कहाँ रखे जाएँ। बहुत बड़े फैक्टोरियल से बचने के लिए, यह कैलकुलेटर द्विपद गुणांक (binomial coefficient) को एक स्थिर गुणात्मक लूप से निकालता है — \(i = 1\) से \(k\) तक \((m - k + i)\) से गुणा और \(i\) से भाग करते हुए, जहाँ \(m = n + r - 1\) और \(k = \min(r, n - 1)\) है।

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The stars and bars model: r identical items (stars) separated into n types by n-1 dividers (bars), giving C(n+r-1, r) arrangements.

हल किया हुआ उदाहरण

डिफ़ॉल्ट मान \(n = 4\), \(r = 2\) के साथ: $$nHr = \binom{4 + 2 - 1}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$। प्रकार {a, b, c, d} से बनने वाले दस संयोजन ये हैं: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यह सामान्य संयोजनों से कैसे अलग है? सामान्य संयोजन \(C(n, r)\) में पुनरावृत्ति की मनाही होती है, यानी हर वस्तु अधिक से अधिक एक बार ही चुनी जा सकती है; यहाँ पुनरावृत्ति की छूट है, इसलिए गिनती बड़ी आती है।

अगर r = 0 हो तो? तब ठीक एक ही संयोजन होता है — खाली चयन, इसलिए \(nHr = 1\)।

अगर n = 1 हो तो? सिर्फ़ एक ही प्रकार होने पर आपको उसे r बार चुनना ही पड़ेगा, इसलिए किसी भी r के लिए केवल एक मल्टीसेट बनेगा और \(nHr = 1\) रहेगा।