¿Qué son las combinaciones con repetición?
Las combinaciones con repetición cuentan de cuántas maneras puedes elegir r elementos entre n tipos distintos cuando se permite repetir un mismo tipo varias veces y el orden de selección no importa. Esta cantidad suele escribirse como nHr y también se conoce como coeficiente multiconjunto. Responde a preguntas como: «¿cuántas combinaciones de bolas de helado puedo formar con 4 sabores si tomo 2 bolas y se permite repetir?».
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de tipos distintos n (debe ser como mínimo 1) y el número de elementos que quieres elegir r (cero o más). Pulsa calcular y la herramienta devuelve nHr, el número exacto de multiconjuntos distintos. Ambos valores son simplemente enteros no negativos; no hay unidades que convertir.
La fórmula explicada
La identidad clave es $$\overline{C}(n,r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r! \cdot (n - 1)!}$$ La idea: si alineas los r elementos elegidos junto con los (n - 1) separadores entre los tipos, obtienes n + r - 1 posiciones y solo tienes que elegir dónde van los elementos (o los separadores). Para evitar factoriales gigantescos, esta calculadora evalúa el coeficiente binomial mediante un bucle multiplicativo estable: multiplica por \((m - k + i)\) y divide por \(i\) para \(i = 1..k\), donde \(m = n + r - 1\) y \(k = \min(r, n - 1)\).
Ejemplo resuelto
Con los valores por defecto n = 4, r = 2: $$\overline{C}(4,2) = \binom{4 + 2 - 1}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$ Las diez combinaciones a partir de los tipos {a, b, c, d} son: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia de las combinaciones normales? Las combinaciones ordinarias \(C(n, r)\) no permiten repetir, así que cada elemento se elige como máximo una vez; aquí sí se permite la repetición, lo que da un número mayor.
¿Qué pasa si r = 0? Existe exactamente una combinación: la selección vacía, por lo que \(nHr = 1\).
¿Qué pasa si n = 1? Con un solo tipo no te queda más remedio que elegirlo r veces, así que hay exactamente un multiconjunto y \(nHr = 1\) para cualquier r.
